| 研究課題/領域番号 |
26330150
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
静谷 啓樹 東北大学, 教育情報基盤センター, 教授 (50196383)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 一方向性関数 / 不動点 / 離散対数問題 / 楕円曲線 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は、一方向性関数とそれに関連する様々な関数の不動点に関する理論を構築することを目的としている。平成26年度は、加法的な離散対数問題を構成するための群として代表的な楕円曲線を検討の対象とした。
いま、体K上の楕円曲線Eの点P=(u,v)に対して、そのX座標を抽出する関数をx(P)=uと書き、関数 f: E→E を f(P)=x(P)P=uP で定義する。もしPが f(P)=P を満たすとき、それを f の不動点と呼ぶことにする。例えば、Eが x=1 にK有理点 P=(1,v) を持てば、それは自明な不動点となる。このとき、有限体F上のどの楕円曲線E(F)についても非自明な不動点が存在するかどうかは、2010年に問題が提起されて以来、未解決であった。
本研究では標数p>3の有限素体F=Z/pZ上の楕円曲線E(F)全体について、自明な不動点をもつ曲線の本数の数え上げと、非自明な不動点をもつ曲線の本数の数え上げを行うとともに、どのような標数p>3についても、自明な不動点以外は不動点を持ちえない曲線が必ず存在することを示して、未解決問題を否定的に解決している。そのような自明な不動点以外には不動点が存在しない曲線の本数の下界を厳密に評価するには、素数を数え上げる関数πについて、ある特定の区間における大きさを評価しなければならないが、それには成功していない。
なお、非自明な不動点をもつ曲線の本数を数え上げる問題については当初、 "Lecture Hall Partition" 問題に帰着すると予想されたが、詳しく検討の結果、通常の整数分割問題（ただし、相異なる和因子への分割）への帰着で十分であることが明らかとなった。
現在、以上の結果について論文原稿を執筆中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画に照らして、平成26年度の実施内容と目標は概ね達成されている。未解決問題を否定的に解決した結果の正しさについても、複数の研究者との討論で検証作業が行われ、確認されている。ただし、論文原稿の執筆が完了しておらず、学術誌等に投稿できていないため、この達成度となっている。
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| 今後の研究の推進方策 |
定義域と値域が重なるような一方向性関数（と推定される関数、以下同じ）を対象に、不動点の存在条件を検討し、不動点の個数を評価する。特に、整数 n>1 の剰余類環 R=Z/nZ 上の一方向性関数（具体例としてRSA暗号やRabin暗号などの暗号化関数を含む）について、不動点が存在するかどうかという判定問題、または実際にその不動点を見つける計算問題の難しさについて、計算量理論の観点から特徴付けを与える。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
主に旅費において、当初の見積額を下回る最経済の実所要額となったことが主要因であり、研究計画の本質的な変更によるものではない。
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度の旅費に追加配分する形で研究活動を実施したい。
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