| 研究課題/領域番号 |
26330150
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
静谷 啓樹 東北大学, 教育情報基盤センター, 教授 (50196383)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 一方向性関数 / 不動点 / 楕円曲線 / 離散対数問題 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は、一方向性関数をはじめ暗号理論の根幹を担う関数の不動点に関する理論を構築することを目的としている。
平成27年度は前年度に引き続き、有限体上の楕円曲線上の離散対数問題に関係の深い関数を対象として検討を進めた。具体的には、標数p>3の有限素体F=Z/pZ上の楕円曲線E(F)上で、f: E(F)→E(F) を f(P)=uP, P=(u,v)∈E(F) で定義する。この関数の不動点の分布は未解決問題である。
前年度は、自明な不動点以外は不動点を持ちえない曲線が、各p>3について必ず一つは存在することを証明した。本年度は、F上の楕円曲線（同型を無視した単純数え上げにより、幾何学的な対象である曲線に対応して全部でp(p-1)個の有限可換群がある）で、この関数fにより少なくとも1個の不動点を持つ曲線は半数を超えることを証明した。現在、この成果を学術誌に投稿すべく執筆中である。
平成27年度は当初の計画どおり、剰余類環 R=Z/nZ 上の多項式で表現される関数について不動点の検討を行った。具体的には g(X)∈R[X] の不動点 g(x)=x を求める問題に付随する可算無限集合の計算量理論的性質を考え、gの不動点がk以下に存在するかどうかを判定する問題がNP完全であることを証明した。しかし深い証明ではないので、より一般化された上位概念の証明に向けて検討を進めている。
以上の内容を、本研究課題にまったく関与していない大学の暗号理論関連講座において講演したところ、数多くの有用なコメントを受けることができた。それらのいくつかは平成28年度において取り組むべき新たな問題にもなっている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
計画では、有限素体で定義された楕円曲線上の一方向性（と見られる）関数についての検討は平成26年度中に完結し、平成27年度は剰余類環で定義された一方向性（と見られる）関数に対象を移すはずであった。しかし、前者については学術誌への投稿原稿の執筆が続いている状態であり、後者については剰余類環の多項式で表現される関数に限定して、その不動点を見つけることがNP完全性につながることを証明しただけで、具体的な暗号化関数にこの性質がどう適用されるのかの議論がなされていない。
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| 今後の研究の推進方策 |
楕円曲線に関係する分について、学術誌への投稿を完了すること。剰余類環上の関数については、不動点を求めることのNP完全性を具体的な暗号化関数（Textbook RSA, Rabin 等）に演繹的に展開するだけでなく、反対に理論の抽象度を上げ、NP完全性の成り立つ定義域の代数構造を帰納的に一般化することも検討する。
当初の研究計画で平成28年度に予定されていた、一方向性全単射を置換と同一視して分析するアプローチは、上記と並行して可能な限り進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
主に旅費の執行が計画どおりできなかった。これは、学会・研究会の開催が集中する年度末の3月に、科研費で旅費を支弁する出張が許可されなかったためで、国立大学の中期の終わりと会計年度末が重なったことによる6年に一度の特殊事情である。
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| 次年度使用額の使用計画 |
計画どおり研究発表と資料収集の旅費として使用するほか、本研究の成果を口頭発表論文の共著者が講演する際、その者の旅費としても一部を支弁したい。
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