| 研究課題/領域番号 |
26400010
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
平賀 郁 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 講師 (10260605)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 簡約代数群の被覆群の表現 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的のひとつは被覆群のエンドスコピーの研究である。
代数群、特に古典群の場合のエンドスコピーについては現在かなり研究が進んでいるが、その場合の研究において重要な役割をはたすのが跡公式である。本研究の目的である被覆群のエンドスコピーに関しても跡公式は重要な役割を果たすと期待されるため、本年度においては SL(2) の被覆群の跡公式について研究を行った。
跡公式はスペクトル側と幾何側の間の等式として表される。跡公式を使ってエンドスコピーを研究する場合の基本的な手法は、跡公式の幾何側を計算してそこに現れる軌道積分を調べるというものである。最終的には目的の群の保形表現や既約許容表現とその群のエンドスコピー群の保形表現や既約許容表現との間の関係について調べるのであるが、代数群、特に古典群の場合には、目的の代数群の跡公式の幾何側とその群のエンドスコピー群の跡公式の幾何側とを比較することにより、目的の古典群の跡公式のスペクトル側に現れる保形表現や既約許容表現とその群のエンドスコピー群の跡公式のスペクトル側に現れる保形表現や既約許容表現の間の関係を調べるという手法が用いられる。本研究で目的としている被覆群においても、このような手法が有効であると期待される。
このため、本年度に SL(2) の被覆群の跡公式の幾何側について研究し、ユニポテント項も含めて全ての項の計算を行った。
この研究により、SL(2) とその内部形式の被覆群のエンドスコピーについて研究するための重要な手法のひとつを手に入れたことになる。また、本年度以降は、この結果を使って、被覆群のエンドスコピーの研究を進展させていくことができると期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究課題を開始する段階では、まず最初に GL(2) の内部形式の被覆群のエンドスコピーについて研究を行い、そこから SL(2) の内部形式の被覆群のエンドスコピーについて研究を進めていくことを計画していた。
しかし、昨年度の研究によって得られた知見をもとに、本年度からは計画を少し変更して SL(2) とその内部形式の被覆群のエンドスコピーについて直接研究を進めている。
このため、本年度は SL(2) の被覆群の跡公式について研究を進展させたが、計画の変更により、当初の計画よりも現段階においては少し遅れていると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
跡公式を使ってエンドスコピーを研究するためには、跡公式の幾何側を安定化させなければならない。
本研究においても、本年度に得られた SL(2) の被覆群の跡公式をもとに、その幾何側の安定化について、次年度以降、研究を行う計画であり、この安定化を使って、今後 SL(2) とその内部形式の被覆群のエンドスコピーと局所ラングランズ予想について研究を進めていく予定にしている。
また、跡公式が得られたため、局所的なエンドスコピーだけではなく、大域的な保形表現のエンドスコピーについても考察する手段が得られると考えられる。よって、今後は大域的な保形表現のエンドスコピーについても本年度に得られた跡公式を使って研究を進めていく予定である。
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