| 研究課題/領域番号 |
26400010
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
平賀 郁 京都大学, 理学研究科, 講師 (10260605)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 簡約代数群の被覆群の表現 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的のひとつは被覆群のエンドスコピーの研究である。
代数群、特に古典群の場合のエンドスコピーについては現在かなり研究が進んでいるが、その場合の研究において重要な役割をはたすのが跡公式である。本研究の目的である被覆群のエンドスコピーに関しても跡公式は重要な役割を果たすと期待される。そのため、昨年度は SL(2) の被覆群の跡公式の幾何側について研究し、ユニポテント項も含めて全ての項の計算を行った。
跡公式はスペクトル側と幾何側の間の等式である。跡公式を使ってエンドスコピーを研究する場合の基本的な手法は、昨年度に本研究で計算した跡公式の幾何側を調べ、目的の群の跡公式の幾何側とその群のエンドスコピー群の跡公式の幾何側とを比較するというものである。これにより、跡公式のスペクトル側に現れる保形表現や既約許容表現について、目的の群のものとエンドスコピー群のものの関係を調べることができると期待される。古典群の場合のエンドスコピーの研究については様々な研究者によりこの手法が使われて大きな成果が得られている。このため、本研究で目的としている被覆群についてもこの手法は有効であると考えられる。
先に述べたように昨年度は SL(2) の被覆群の跡公式の幾何側の計算をおこなったので、本年度は跡公式のもう一つの側であるスペクトル側について研究をおこなった。スペクトル側の研究は、幾何側の計算結果と合わせて考察し、跡公式を安定跡公式というエンドスコピー群の跡公式と比較しやすい形の公式にすることが目標である。本年度は安定跡公式にもっていく前段階としてのスペクトル側の計算を行った。
本年度以降は、この結果を使って跡公式を安定化し、それにより被覆群のエンドスコピーの研究を行っていくことができると期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究課題を開始する段階では、まず最初に GL(2) の内部形式の被覆群のエンドスコピーについて研究を行い、そこから SL(2) の内部形式の被覆群のエンドスコピーについて研究を進めていくことを計画していた。
しかし、初年度の研究によって得られた知見をもとに、昨年度からは計画を少し変更して SL(2) とその内部形式の被覆群のエンドスコピーについて直接研究を進めている。
このため、昨年度と本年度は SL(2) の被覆群の跡公式について研究を進展させたが、計画の変更により、当初の計画よりも現段階においては少し遅れていると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
跡公式を使ってエンドスコピーを研究するためには、跡公式を安定化させなければならない。
本研究においても、昨年度と本年度に行った SL(2) の被覆群の跡公式の幾何側とスペクトル側の研究をもとに、次年度はまず跡公式の安定化の研究を行う予定である。
また、跡公式が安定化されれば、局所的なエンドスコピーだけではなく、大域的な保形表現のエンドスコピーについても考察する手段が得られると考えられる。よって、大域的な保形表現のエンドスコピーについても跡公式を使って研究を進めていく予定である。
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