| 研究実績の概要 |
正定値実対称行列のなす対称錐は一般線形群が作用する等質空間であり, 整係数一般線形群が固有不連続に作用する. この離散群の作用に関する基本領域を決定する理論は簡約理論とよばれ, 離散群や２次形式の数論, リーマン対称空間の算術商の研究と深く関係している. 簡約理論には, Minkowskiの簡約理論, Korkin--Zorotarevの簡約理論などいくつかの異なる理論が知られているが, その一つにVoronoi簡約理論がある. Minkowskiの簡約理論は, Humbertにより基礎体が代数体の場合に拡張され, その後Borel--Harish-Chandraによる一般の簡約代数群のSiegel集合の理論へと発展したが, 他方Voronoi簡約理論は, その構成が線形性に強く依拠していることから, Koecherにより自己双対等質錘までは拡張されたが, 一般の簡約代数群では理論が構成されていなかった. 研究代表者は, これまでの研究で, Voronoi簡約理論の類推を考察することにより, 一般の簡約代数群のアデール群上でRyshkov領域を定義し、Ryshkov領域内にアデール群の算術的商空間の基本領域が構成できることを示した。しかし, ここまでの研究では, 基本領域の具体的記述には代数群の類数が1という仮定を必要としたため, 有理数体上の一般線形群に対するKorkin--Zorotarev--Grenierの簡約理論を包含することを示すことはできたが, Humbertの理論に対するカウンターパートは構成できていなかった. 今年度の研究では, Lee Tim Weng君との共同研究により, 任意の代数体上の一般線形群に対し, Korkin--Zorotarev--Grenier簡約理論の一般化を構成することができた.
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究の目的の一つである, Ryshkov領域から構成される基本領域の境界セルの個数の有限性, について考察を進める. これまでも一般的な証明について考察を重ねているが, まだ証明はできてなく, 手がかりも乏しい. そこで, 今回得られた結果: 代数体上の一般線形群に対する基本領域の明示的構成 をもとに, この具体的な場合についてその境界セルの有限性を示すことを考える.
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