表現論における運動量写像と非可換不変式論

2019 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 26400014
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 代数学
• 研究機関: 鳥取大学
• 研究代表者: 橋本 隆司 鳥取大学, 教育支援・国際交流推進機構, 教授 (90263491)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 運動量写像 / 不定値直交群 / 極小表現 / Howe双対性 / Gelfand-Kirillov次元 / Bernstein次数

研究成果の概要

不定値直交群が自然に作用するシンプレクティック・ベクトル空間上の運動量写像を正準量子化することにより， (g,K)-加群を構成し，Howe双対性を適用してsl(2)の有限次元表現に付随するその既約表現を構成し，K-タイプ公式の計算に成功した.これにより表現論的不変量であるGelfand-Kirillov次元および Bernstein次数を求めた．これらのGelfand-Kirillov次元はすべて極小表現に対応する(g,K)-加群のそれに等しいこと，および，Bernstein次数が極小表現のそれとそれ以外のものとを区別することが明らかになった．

自由記述の分野

表現論

研究成果の学術的意義や社会的意義

運動量写像は不変式論等，代数幾何学において非常に重要な役割を果たしていることは周知の事実であるが，本研究により，運動量写像が非可換な世界と可換な世界とをつなぐ架け橋の役割を担っていることが明らかとなり，運動量写像が表現論においてもまた，重要な役割を果たしていることが強調できた．系のもつ対称性が運動量写像により記述されるという点において，運動量写像は Lie 理論的に極めて自然で，かつ，座標系を用いて具体的に表せることが，運動量写像が数学における様々な場面において，このように重要な役割を果たすのだと思われる．