素数ベキ分体の類数の素因子の分布

2015 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 26400020
• 研究機関: 学習院大学
• 研究代表者: 中島 匠一 学習院大学, 理学部, 教授 (90172311)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2018-03-31
• キーワード: 円分体 / 類数

研究実績の概要

素数ベキ分体の類数のマイナスパートの計算を行い、得られたデータを処理して、類数に関するある仮説を提示し、その検証作業を行った。
素数ベキ分体の類数は、与えられた素数ベキとともに急激に増大することが知られていて、巨大な整数（数億桁に及ぶこともある）の処理に困難がある。本研究では、巨大整数の処理のために専用の計算機を用意し、自前のプログラムを作成することが第一ステップであった。そして、昨年度までにかなりの数値データを蓄積することができた。具体的には、素数のベキが2以上の円分体については、ベキの小さいほうから可能な範囲のデータを求めた。
また、素数分体については、可能な範囲で小さいほうから順番に類数を求めた後、さらに、（飛び飛びに登場する）高速に計算できる素数について重点的に計算した。
上記のような計算を行って得たデータをもとに、いくつかの考察を行った。素数分体については、クンマー以来予想されている類数の増大度の評価が従来の範囲を超えて成立していることが確認された。また、素数分体の類数の偶奇についてのデータも整理することができた。ベキが2以上の素数ベキ分体のデータを精査した結果、素数分体の場合とは状況が異なる、という事実に到達した。つまり、素数分体の類数とは異なり、ベキが2以上の素数ベキ分体の類数はお互いに共通の素因数をもたないことが観察された。現在、この結果を「仮説」として具体的に定式化して、それを公表する準備を行っている。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本研究のテーマである素数ベキ分体の類数は、巨大な整数になることがわかっていて、それが研究の主たる困難となっている。本研究計画では、まず、第一ステップとして、専用のハードウエア（＝高性能PC）を導入し、それを使いこなすソフトウエア（＝計算プログラム）を整備することとし、第二ステップとして、（長時間かかる）数値計算を実行する計画としていた。昨年度（と、本年度の前半）までの研究で、この第二ステップまで着実に達成することができて、今年度は、得られたデータの処理を実行する段階に入った。そして、類数の素因詩に関する仮説を、広い範囲のデータについて検証することができた。このように、本研究は、当初のもくろみを順次達成できており、この意味で、順調に進展している、といえる。

今後の研究の推進方策

現在までの研究で、本研究用に導入した計算機で計算できるデータは「計算し尽くした」ということができる。（計算時間が膨大になり過ぎて、これ以上計算範囲を広げることができない。）したがって、今後はデータの処理によって、新たな知見を得ることが大きな目標となる。既に、類数の素因詩に関する仮説を提示することができたので、今後の最初の作業はこの仮説を深く考察することである。そのためには、類数の研究をしている多くの数学者の意見を聞くことが有益であるので、まず、現在準備中の論文を早く完成させ、世界に提示することが最初の課題となる。そのあとは、(1)この仮説の証明、(2)得られたデータを処理し、（既に得られた仮説とは別の）類数の新たな性質を探求すること、の2つが本研究の大きなテーマとなる。

次年度使用額が生じた理由

平成26年度に本研究費で購入予定だったPCを本務校の予算で購入できたため、本年度（＝平成27年度）の予算に繰り越した。本年度は計画通りの研究を行ったが、この繰り越し分はさらに次年度に持ち越すこととなった。

次年度使用額の使用計画

当初導入したPCは性能一杯まで稼働させている。研究費の一部を、このPCのパワーアップ（＝メモリーの増設など）のために使用する計画である。また、次年度は本研究の成果の発表に力を入れるので、その目的で各種の研究集会に参加するためにも研究費を利用する計画である。