| 研究課題/領域番号 |
26400023
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| 研究機関 | 中央大学 |
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研究代表者 |
鍬田 政人 中央大学, 経済学部, 教授 (00343640)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 数論幾何学 / K3曲面 / 楕円曲面 / 国際研究者交流 アメリカ合衆国 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の主な目的は、K3曲面の中でもとくに Kummer曲面について、その上に存在しうる楕円曲面の構造を分類し、そのMordell-Weil格子の構造をできるだけ具体的に記述することである。平成2６年度はPicard数が（標数0の）K3曲面での最大値20である、いわゆる「特異K3曲面」についての研究を中心に進めた。とくに、2つの楕円曲線の直積から得られるKummer曲面のn重被覆（1 ≦ n ≦ 6）として得られるK3楕円曲面のMordell-Weil群の生成元を求める問題を解決した。このようなK3楕円曲面のMordell-Weil群の定義体はもとの楕円曲線のn等分点の定義体と密接に関係するので、レベルｎ構造をもつ楕円モジュラー曲面の理論を用いることにより、Mordell-Weil群の生成元を求めることに成功した。これには研究協力者であるAbhinav Kumar氏による非常に複雑な数式処理計算に負うところ大である。
この結果を平成27年1月に東京大学数理科学研究科で行われた Arithmetic and Algebraic Geometry 2015 においてを発表したが、そこに参加していたオランダ・フローニンゲン大学のTop教授や、ドイツ・ハノーファー大学のSchuett教授などからフィードバックを得ることができた。
また、平成26年５月に、アメリカ・ルイジアナ州立大学のJerome Hoffman教授が来日したが、Hoffman氏が構成したJacobianが実乗法を持つ種数３の代数曲線の族と、本研究課題の主要テーマである、特殊な構造を持つJacobianから得られるKummer曲の上の楕円曲面のMordell-Weil群を調べるという問題の関連を直接討論し、今後の研究に役立てた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
平成2６年度の主な目標は、Picard数20であるK3楕円曲面のMordell-Weil群の生成元を求めることであったが、これについてはAbhinav Kumar氏の協力を得て，高度な数式処理計算を行うことにより、当初の見通しよりも短期間で解決することができた。
また、種数2の曲線Cのヤコビ多様体J(C)から得られるKummer曲面について、直積型のKummer曲面と同様方法で構成した楕円曲面のMordell-Weil群の生成元を求める問題についても順調に進展している。さらに、Hoffman氏やTop氏などとの討論を通じ、ヤコビ多様体J(C)が特別な構造を持つ場合についての研究についても予定を前倒しして取り組むことができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成27年度は、Jacobi多様体J(C)の Kummer曲面Km(J(C))のｎ重被覆として得られるK3楕円曲面のMordell-Weil群の生成元を求めることを中心課題としたい。直積型のKummer曲面の場合はレベルｎ構造を備えた楕円モジュラー曲面が決定的な役割を果たしたので、この場合もレベルｎ構造をもったJacobi多様体の普遍族が重要な役割を果たすと期待される。しかし、楕円モジュラー曲面とは違って、このようなJacobi多様体の族については，未だ知られていないことが多く、まずはこのようなJacobi多様体の族について詳しく調べる必要がある。
平成27年8月にアメリカ・ブラウン大学でJoseph Silverman教授の還暦記念研究集会が開かれるが、これには楕円曲線とその周辺に興味を持った多くの数学者が集うことが期待される。そこで、これに参加してこれまでの研究成果を発表するとともに、そこに集う研究者と積極的に討論して、レベル構造を持ったJacobi多様体の族についてなど、本研究にかかわる多くの知見を得たいと考えている。
また、Mordell-Weil格子の生成元の決定には大規模な数式処理を行う必要が出てくるが、そのためのコンピュータや数式処理プログラムについても必要に応じて導入することを検討している。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
大規模な数式処理のための高速大容量コンピュータについて、適当な機種の選定に手間取り、その購入を1年延期したから。
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| 次年度使用額の使用計画 |
当初の予算と合わせて、大規模数式処理のための高速大容量コンピュータの購入にあてたい。
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