| 研究課題/領域番号 |
26400023
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| 研究機関 | 中央大学 |
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研究代表者 |
鍬田 政人 中央大学, 経済学部, 教授 (00343640)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 数論幾何 / K3曲面 / 楕円曲面 / Mordell-Weil格子 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の主な目的は、 K3曲面の中でも特に Kummer曲面と関連した曲面上の楕円曲面の構造を分類し、そのMordell-Weil格子 をできるだけ詳しく記述することである。平成28年度は 種数2の曲線CのJacobi多様体J(C)から構成される Kummer曲面Km(J(C)) を中心に考察した。平成27年度までに、直積型のKummer曲面のn重被覆（n=1,…,6）の類似にあたるKm(J(C))のn重被覆でK3曲面となるものをAbhinav Kumar氏の協力を得て2種類構成し、その応用として直積型のKummer曲面からは得られない階数15のMordell-Weil格子を持つ楕円曲面を複数の仕方で構成した。平成28年度はこれらの結果を論文としてまとめて発表し、さらにそのMordell-Weil格子を調べる問題に着手した。Mordell-Weil格子をの定義体を決定するにあたって、直積型のKummer曲面の場合はレベルｎ構造を備えた楕円モジュラー曲面が決定的な役割を果たしたので、その類似として、レベル3または4の構造を持った種数2の曲線のJacobi多様体（＝主偏極アーベル曲面）の族をパラメトライズする3次元多様体をできる限り具体的に表示するという問題を考察した。
Picard数20であるK3楕円曲面のMordell-Weil群の生成元を求める問題については，平成2６年度までにその主要部分を解決して論文として発表したが、平成27年度にその改訂版の出版が決定した。その論文の中で猪瀬の曲面と呼んだ K3楕円曲面に関しては、そのMordell-Weil群の生成元を明示的に求める問題は一部を除いて一般論しか扱えていなかった。この問題を、次数3の同種写像を持つ場合について内海和樹氏と共同で研究し、論文として発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成2８年度の主な目標は、種数２の曲線CのJacobi多様体J(C)から構成されるKummer曲面Km(J(C)) について、そのｎ重被覆として得られるK3楕円曲面のMordell-Weil格子の構造を調べることが目標であった。これについてはAbhinav Kumar氏の協力を得て、平成2７年度までに得た結果をまとめて論文として発表し、さらにそのMordell-Weil格子の定義体を考察するために、レベル3または4の構造を持った主偏極アーベル曲面の族をパラメトライズする3次元多様体をできる限り具体的に表示するという問題に着手した。この研究については当初の目標通り順調に進捗している。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成2９年度は、平成2７年度に得られたJacobi多様体J(C)の Kummer曲面Km(J(C))のｎ重被覆として得られる2種類のK3楕円曲面の族について、そのMordell-Weil群の生成元を求めることを大目標とし、それに向かっての最初の課題としてMordell-Weil群の定義体についての詳しい考察を行いたい。直積型のKummer曲面の場合はレベルｎ構造を備えた楕円モジュラー曲面が決定的な役割を果たしたので、この場合もレベルｎ構造をもったJacobi多様体J(C) （＝主偏極アーベル曲面）の普遍族が重要な役割を果たすと期待される。この問題について、Abhinav Kumar氏とともにレベルが３または４の構造を持つ主偏極アーベル曲面の族をパラメトライズする3次元多様体をできる限り具体的に表示するという問題に着手しており、これを継続発展させていきたい。
また、これまでに得られたMordell-Weil格子の生成元に関する一般論を応用し、数論的に興味ある具体的な楕円曲面のMordell-Weil格子のより精緻な構造を調べることも、内海和樹氏らと協力し推進していきたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
3月の外国旅費が予定より少しだけ少なく済んだ。
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| 次年度使用額の使用計画 |
今年度の旅費に充てる。
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