| 研究実績の概要 |
申請時に設定した以下の問題について次の成果を得た。以下, 高次元双対超卵形を DHO と略記する。
「問題 (a) 生成空間の次元に関する予想の証明（DHOの部分構造論の応用として）」に関しては特段の進展はなかった。
「問題（ｂ）積構造の構成による DHO の分裂性証明」分裂性が確認されていない無限系列である Taniguchi DHOについて, その分裂性が積構造に注目することにより示された。対応する代数構造は興味深いものであるが, 強い特徴は見いだせていない。
「問題 (c) 既知の APN 関数の同値性の完全決定」一般に, Quadratic APN 関数と Power APN 関数が CCZ-同値となる場合に関する強い理論的成果を得た。特に, (既知とは限らない）Power APN 関数が quadratic 関数と CCZ-同値になるのは, それが Gold 関数と EA-同値である場合に限ることが示された。また, 上記の理論的成果の応用として, Gold 関数と既知の Power APN 関数(5個の系列からなる)の間の CCZ-同値性が完全に解決された。残されていたのは Gold 関数と, Kasami 関数及び Niho 関数の CCZ-同値性の点検であったが, Gold 関数は 32 元体上のただ一つの例外(13 乗関数）を除けば Kasami 関数と CCZ-非同値であり, 二元体の拡大次数 n の体上の Gold 関数は n が 9 以上であれば Niho 関数とは常に CCZ-非同値である。残された場合は Kasami 関数に関連するものであるが, 上記の理論的結果は, この場合を扱う手がかりは与えない。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
問題 (b) に関して, 平成２６年度の目標とした Taniguchi DHO の分裂性が, まさに提唱した方法に基づいて証明できた。これはこの問題設定と提唱した方法が適切であったことを示すものと判断できる。
問題 (c) に関して, Gold 関数と，将来出現する可能性のあるものも含む如何なる Power APN 関数に対しても適用できる一般的成果が得られたことは重要である。この応用として, 最も重要な未解決問題であった Gold 関数と Kasami 関数及び Niho 関数の間の CCZ-同値性問題が完全に解決できたことは, 申請時の期待を超えた大きな進展である。
|
| 今後の研究の推進方策 |
問題 (a) については特段の進展は見られなかったので、引き続き検討する。問題 (b) については、提唱した手段の有効性が確かめられたので, 引き続き他の simply connected な DHO の無限列について検討する。問題 (c) については, 残された Kasami 関数と
Welch 関数及び Niho 関数, Welch 関数と Niho 関数との CCZ-同値性点検に関して, 有効な手段となりうる対象を考える。現在有効と思われるのは, 線形性を失った DHO ともいえる存在であり, そこに群環的な方法を持ち込むことである。これは差集合の研究における常套手段であり，ベクトル空間という可換群への指標論の応用に他ならないが，それを超えて，形式付きのベクトル空間への指標論の応用とみなせる方向への発展につながる期待を持っている。
|
