| 研究課題/領域番号 |
26400025
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| 研究機関 | 東京女子大学 |
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研究代表者 |
吉荒 聡 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (10230674)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | bilinear DHO / ambient space / Huybrechts DHO / Buratti-Del Fra DHO |
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| 研究実績の概要 |
申請時に設定した3つの問題に関して、平成 28 (2016)年度は、特に「問題 (a) 生成空間の次元に関する予想の証明」に関して著しい成果を得た。以下、高次元双対超卵形をDHO と略記する。DHO の重要なクラスとして、bilinear DHO と呼ばれるものがあり、APN 関数と関連があり、応用上も重要と認識されている。この bilinear DHO のうち、生成空間の次元が高いのもの（階数が n ならば生成空間の次元が n(n+1)/2）として知られていたのは、Huybrechts DHO と Buratti-Del Fra DHO であったが、これらの DHO の分類が完全に得られた。正確には次の成果を得た。
階数 n の bilinear DHO の生成空間の次元は高々 n(n+1)/2 であり、生成空間の次元が n(n+1)/2 であるような階数 n の DHO は、Huybrechts DHO と Buratti-Del Fra DHO に限る。
この結果の前半部分は、問題 (a) を bilinear DHO のクラスについて解決しており、既に 平成 27 年度に得られていた（報告書に記載）。生成空間の次元が最も大きbilinear DHO を完全に決めた点が平成 28 年度に得られた最も重要な成果である。方法は非常に初等的である。bilinear DHO に付随して得られるある全単射関数(kappa関数)が線形性となるような範囲 I を考察し、I が非常に限られた構造を持つことを示す。I が全空間であるとき Huybrechts DHO, それ以外は Buratti-Del Fra DHO と同型になることを示す。この証明は、今まで正体不明であった Buratti-Del Fra DHO についての良い理解を与える。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
具体的研究課題として挙げた3つの問題のうち, すべてにおいて一定の成果を得ており、いくつかについては当初の見込みを超える成果を得ている。具体的には,
問題（a) については bilinear DHO のクラスで予想を解決し、更に生成空間が最大である bilinear DHO を分類するという思いがけない結果も得た。
問題 (b) については、当初の見込み通り Taniguchi DHO の分裂性を示した。
問題 (c) については、昨年度の報告書で述べたように、当初の見込みを超えてすべての単項 APN 関数を包括する一般的成果を得た。また今年度の研究では plateaued APN 関数への更なる拡張も得た。
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| 今後の研究の推進方策 |
問題 (a) の解決において、鍵となるのは bilinear という性質である。議論は non-bilinear な場合に単純に拡張できないので、bilinear な部分に分割するという方法を模索中である。これは昨年度の報告書でも述べた根本方針であるが、DHO がある特殊なメンバーを含まないと帰納的な議論にならない。このようなメンバーは、生成空間の次元が最大であるときに常に存在するかどうかを検討するのが今後の課題である。なお、bilinear という仮定のもとには、このようなメンバーは常に存在する。
問題 (b),(c) に関連して, 群環を用いた議論も重要である。Plataued APN 関数を扱う際に、群環を用いると議論が明快になることを応用した成果も得たので、その発展も検討する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
家庭内の諸事情により、研究代表者が出張できる機会が限られたため。また昨年度計画した、故平峰豊氏の関連論文をまとめる作業が進まなかったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
故平峰豊氏の関連論文をまとめることで物品費などの消費を図る。また、小研究集会「有限幾何とその周辺」の開催に加えて、より少人数の勉強会を頻繁に開催する。参加予定者の多くは、大学から引退されたが研究意欲の高い方々であり、見識も高い。彼らとの討論は研究代表者の問題解決によい見通しを提供すると期待できるので、参加予定者の旅費補助に多くの研究費を使用する予定である。
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