| 研究課題/領域番号 |
26400025
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| 研究機関 | 東京女子大学 |
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研究代表者 |
吉荒 聡 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (10230674)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | ＤＨＯ（双対超卵形） / APN関数の同値性 / 生成空間の次元 / bilinear DHO |
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| 研究実績の概要 |
申請時に設定した３つの問題のうち「問題（a）生成空間の次元に関する予想の証明」に関して前年度末に得た著しい成果「bilinear DHO に対する次元予想の解決及び生成空間の次元が最大となる bilinear DHO の特徴づけ」をまとめ，雑誌 Journal of Algebraic Combinartorics に投稿し受理された. その結果自体の美しさと証明方法の透明さについて, 審査員から高い評価を得て，この論文は直ちに公刊された．(「１０．研究発表（平成２９年度の研究成果」の「雑誌論文」参照.）
申請時に設定した３つの問題のうち「問題（ｂ) 積構造の構成による DHO の分裂性証明」に関しては，一昨年度に Taniguchi DHO の分裂性が, 申請時の目論見通り, 積構造との関連を通じて示された．「問題（c) 既知の APN 関数間の同値性の完全決定」に関しては，一昨年度に単項 APN 関数とquadratic APN 関数を包括する, 決定的な成果を得ている．このように，すべての設定課題に対して一定以上の成果を挙げた状況である．
そこで, 最終年度である本年度は，分裂性と積構造に関連した一般論の考察を進めると同時に，当初設定した課題のうち，残された最大の難問である, 「問題（a)生成空間の次元に関する予想を bilinear とは限らない一般のDHOに対しても証明する」ことにも挑んだ. 前者については bilinear DHO についてその補空間と引き起こされる積構造との関連に関する一般論に進展があり，論文にまとめる作業をすすめている．残念ながら, 後者については現時点ではまとまった成果を得ていない.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初設定した３つの問題のうち, すべてにおいて一定以上の成果を得ている.
特に問題 (a) に関しては, 一般の DHO に関する生成空間の上限予想の証明が未完成ではあるが, bilinear DHO に関する予想の証明のみならず, 最大の生成空間を持つ bilinear DHO の分類という思いがけない美しい成果を得ている.
問題 (b) に関しては, 分裂性が未決定であった Taniguchi DHO の分裂性が示されただけでなく, bilinear DHO の補空間と積構造の間の一般論が示された. 問題 (c) に関しては, 既知の APN 関数の無限系列の間の同値性問題が完全に解決されただけでなく, plateaued APN 関数に対する一般論も示された.
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| 今後の研究の推進方策 |
残された大きな課題である「一般の DHO に関する生成空間の上限予想の証明」について様々な角度から考察する. 部分構造や商構造を帰納法が適用できるように構成できていない点が最も問題であり, その克服のため DHO 構造を拡張した対象を考察に含める必要性について検討を進める予定である．この検討結果次第では，平成３０～３３年度の科学研費助成事業に選定された研究課題「非線形関数論への幾何学的アプローチ」（研究代表者：吉荒聡）において構想されている「差分複体」との関連が浮かぶ可能性も期待できる．また補空間と積構造の関連については, bilinear と限らない場合にも一般論を展開できる余地があると思われるので, その点も考察する.
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究代表者の家庭内事情の変化により, 平日４日間以上出張することが困難になったため, 海外研究集会参加及び長期国内集会参加を見送った. この理由により次年度使用額が生じた．平成３０年度は研究代表者自身の短期国内集会参加及び研究代表者が主催する小研究集会に研究協力者が参加するための補助として使用する計画である.
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