| 研究課題/領域番号 |
26400035
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
増岡 彰 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (50229366)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | スーパー代数群 / ホップ代数 / ピカール-ヴェシオ理論 / 淡中双対性 |
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| 研究実績の概要 |
固定した可換環 k 上の可換代数の圏から群の圏への関手（可換代数）→（群）を k-群、そのうち表現可能なものをアフィン群(スキーム)と呼ぶ。従ってアフィン群は可換ホップ代数と１対１に対応する。この定義は Grothendieckによる「関手的見地」に立ったものだが、これが最も有効に働くのは、k 上定義されたさまざまな対象の自己同型群を、より一般に k-群と見なす場合であろう。実際、デサント理論や淡中双対性の再定式化といった鮮やかな成果に、その有効性が見て取れる。この見地から、次の２つの研究を行った。
1) 微分ガロア理論。上述の淡中双対性の再定式化とは、テンソル圏とファイバー関手が与えられたとき、後者の自己同型 k-群がアフィン群であって、その表現圏を以てもとのテンソル圏が復元できるとするもの。これはテンソル圏が１つの線形微分方程式、等価に微分加群、で生成されることき、すなわち微分ガロア理論のコンテクストにおいて、Grothendieckらによりまた見事に応用された。これと同じ立場から、梅村浩教授と斎藤克典氏(名古屋大学)と共同でPicard-Vessiot理論の量子化の研究を行った。
2) 代数群のスーパー化。アフィン群の定義において（可換代数）を（スーパー可換代数）に拡張して定義されるのがスーパーアフィン群である。これを主に、対応するスーパー可換ホップ代数を通して研究した。柴田大樹氏(筑波大学)との共同研究で、可換環上のスーパー代数群について、その Harish-Chandra 対を用いた構成法と、表現圏についての基礎的結果を得た(arXiv: 1304.0531, 1505.06558)。また、Zubkov教授(ロシア)との共同研究で、スーパー代数群とスーパー・スキームの基本的性質について研究した (同1502.06558)。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
スーパー代数群の基礎理論が、ほぼ期待通りにできつつある。ピカール･ヴェシオ理論のスーパー化については、まだ手がついていないが、量子化について理解を進めることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでスーパー幾何学に現れる群を、代数的なコンテクストで研究してきた。しかし、幾何学的応用を鑑みるとき、解析的なコンテクストで研究すること、すなわちスーパー・リー群を研究することも重要である。スーパー･リー群について、できるだけ一般の状況で、これまで得た代数的手段を以て研究を進めたい。具体的には、(正標数の場合を含む)完備付置体上の、スーパー･リー群について、完備局所スーパー・ホップ代数(等価に、スーパー形式群)を応用して研究を進めたい。
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