| 研究課題/領域番号 |
26400037
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
山崎 玲(井上玲) 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (30431901)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | クラスター代数 / 双曲幾何 / 可積分系 / 結び目 / 差分方程式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、クラスター代数の差分方程式と三次元多様体への応用に関する問題を考察することである。26年度は以下の内容の論文2編をまとめた。
(1) クラスター代数のTシステム、Yシステムの関係と初期値問題：Tシステムの解からYシステムの解が得られることが知られているが、一般にこの方法ではYシステムの一般解は得られない。この問題を考察し、Tシステムを非自律的に変形することによってYシステムの一般解を記述する自由度が確保できることを示した。この問題はクラスター代数の交換行列の退化と関係があり、交換行列のmutation周期が1の場合を詳しく調べた。その結果、交換行列の像の基底に「回文的な」取り方があること、そしてある場合にこの基底を用いるとパンルベ性をもつ差分方程式が得られることを示した。(2) 量子クラスター代数によるR作用素の実現と結び目の複素体積：FockとGoncharovが導入した量子クラスター代数を用いて組みひも群を実現し、特にこの群の量子Y変数への作用は量子ダイログ関数を用いて表せることを発見した。さらに、量子化の変形パラメーターqが1の冪根になる極限において、R作用素はKashaevのR行列とゲージ同値であることを示した。結び目の体積予想はもともとKashaevのR行列で定式化されており、今回の結果はこの予想にクラスタ―代数という新たな視点を加えたことになる。
研究(1)はAndrew N. W. Hone氏、研究(2)は樋上和弘氏と共同で行った。(2)の成果について、数理物理におけるLie環(CRM、カナダ)、クラスター代数と可積分系(ICERM、アメリカ)、量子トポロジー(九州大学)の国際会議で講演を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の初年度である26年度は、3種類の問題：(I-i) mutation周期1を持つ交換行列のTシステム、Yシステムの解析 (I-ii) クラスター代数と代数幾何の関係を理解するためのよい差分方程式を探す (II-i) 組みひも群の量子化と量子不変量、を考察する計画であったが、それぞれ次のような進展があった。
(I-i)については、mutation周期が1の場合には交換行列の退化とTシステムの非自律的な変形との間に密接な関係があることがわかり、先の「研究実績の概要」に述べたとおり順調に研究が進んでいる。(I-ii)の目的は、クラスター代数の構造から得られる差分方程式の代数幾何的性質を調べる問題の足掛かりを作ることにある。具体的な進展はまだ無いが、現在進行中の研究(下の「今後の研究の推進方策」で説明する)で一つの手掛かりらしきものが見えてきており、今後の研究に期待できる。(II-i)については、先の「研究実績の概要」に述べたとおりクラスター代数の量子化を用いて結び目の体積予想につながる成果を得た。特にクラスター代数の言葉で構成したR作用素から量子クラスター代数を経由して自然にKashaevのR行列が得られたことは大きな成果である。このR作用素は複雑で、具体的に不変量を数値計算するのが非常に難しいことが問題ではある。
以上のことから、本研究は計画した方向におおむね順調に進んでいると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
差分方程式への応用について：系統的に可積分な差分方程式を構成する組み合わせ的な方法として、二つの方法が知られている。一つは曲面上の箙から決まるクラスター代数のmutationを使う方法、もう一つは曲面上のネットワーク上の群作用を使う方法である。前者はPoisson構造の一般的枠組みが、後者はスペクトル曲線などの対称性が調べ易いことが分かっている。今後は両者の関係を見ながら両方の利点を併せ持つ差分方程式を中心に(I-ii)を進め、クラスター変数の代数幾何的な性質を考察したいと考えている。現在行っているThomas Lam氏、Pavlo Pylyavskyy氏との共同研究で、トーラス上のネットワークから定まる差分方程式の初期値問題を考察しているが、この差分方程式はクラスター代数のmutationと密接な関係があり、よい例の候補である。引き続きこの共同研究を進める予定である。
三次元多様体への応用について：これまで研究を進めてきた、三次元多様体の四面体分割とクラスター代数のmutationとの対応に基づいた不変量の計算の理解を深め、クラスター代数の有用性を調べていく。具体的な問題としては、円周上の点付き曲面束が双曲構造を持つ場合にクラスター変数を用いて構成されたライデマイスターねじれの計算、という先行研究を結び目の場合に応用することを考えている。研究を効率的に進めるため、特に三次元多様体の専門家の意見を聴き議論をしていく考えである。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
26年度から27年度にまたがる外国出張をしたため、26年度分の旅費計算が正確に出来ずに残金が出た。
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| 次年度使用額の使用計画 |
該当した外国出張の27年度分の支払いに充てる。
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