| 研究実績の概要 |
一般化された Huneke の判定法を適用することにより、射影平面の点集合を定義するイデアルのシンボリックリース環の有限生成性を調べた。特に、体 K 上の多項式環 S = K[x, y, z] において
x(y^n - z^n), y(z^n - x^n), z(x^n - y^n)
が生成するイデアル I（ここで n は正整数である）に的を絞って調べてみた。体 K が原始 n 乗根を含む場合には、このイデアル I は射影平面の 3 + n^2 個の点を定義するものであり、そのシンボリックリース環が有限生成になることは既に知られていたのだが、そこで用いられた方法は計算機の助けを借りながら力ずくで証明するというものであり、理論的な観点からは興味が薄いという印象を受けていた。Huneke の条件をみたす 2 つの元を如何にして見出すかが問題であったのだが、n が 4 以上の場合には 2 つの元のどちらかが斉次元にはならないはずであるという事実から発見に至ることができた。Huneke の判定法では、基礎環を局所環とするのだが、その仮定の必要性を説明する上で重要な例となるのではないかと思う。
上記のイデアル I は、第 1 行に x^{n - 1} y^{n - 1} z^{n - 1} が並び、第 2 行に yz xz xy が並んでいる様な 2×3 行列 A の極大小行列式で生成され、I の 3 つの生成元が定める S^3 から S への準同型写像の核 M は A の列ベクトルで生成されることが分かる。今後の研究テーマとして S^3 の部分加群 M のリース環を調べるという問題を認識できた事は大きな収穫であった。
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