| 研究実績の概要 |
本研究は，射影多様体Xが次数d,次元n,余次元eのとき，「Xを含む次数(d-e+1)以下の全ての超曲面の共通部分はXと一致する」「(d-e)次以上の全ての超曲面が作る線形束はX上で完備である」の証明を目標に，この周辺の問題の発見とその解決を目指している．
点からの線形射影が射影多様体Xとその像との間の双有理写像を引き起こさない中心点を，Xの非双有理中心点とよぶ．Xの外，Xの内の非双有理中心点の集合をそれぞれ，B(X), C(X)と表す．これまでに，Xを含む次数(d-e+1)以下の超曲面の共通部分は，B(X)，C(X)とXの特異点集合を除き，Xと一致することが示され，本研究ではB(X), C(X)を調べることが課題である．
今年度，これまでの研究の再検討と残された課題を中心に研究を進めた．第１に，B(X)とC(X)を持つ射影多様体の特徴付けとその応用の証明を再度検討し，論文の再構成した．第２に，C(X)が直線からなる非特異多様体，すなわちロス多様体Xのカステルヌーボ-マンフォード正則数の上限について再検討し論文を再構成した．更に，これまでの本研究の結果と課題を概説にまとめ，研究方針を明確にした．第３に，C(X)で非特異射影多様体の２重点因子の基点の研究を継続した．C(X)が１点で，その点からの線形射影像が有理スクロールとなる場合，次元がn,次数d,型が(a, m, b)，標準因子K_X,埋め込みを定める直線束O_X(1)のとき，２重点因子はO_X(d-n-a-1)-K_Xとなるが，この因子の基点は，空集合であることが昨年までに示されていた．これを進め，正の整数sに対し，O_X(d-n-a-1-s)-K_Xが基点を持たないためのsの上限を与えた．第４に，B(X)に１次元以上の既約成分を２つ以上持つ射影多様体の特徴付けの証明の再検討を行った．これの問題は引き続き研究が必要である．
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