| 研究実績の概要 |
本科学研究費助成金による成果は, 次の 1 つの定理を得, その詳細な証明を与えることができたことである.
定理. A を 1 を持つ可換ネーター環とし, 有限 Krull 次元ゴレンスタイン環の準同型像とする. また, J を A のイデアルとする.さらに A は J-進位相で完備であると仮定する. N・ を A-加群からなる複体の D+(A) における対象とする. ただし, D+(A) は対象が下に有界な複体からなる導来圏とする. もし イデアル J が 1次元または単項であるならば A-加群からなる複体 N・ について次の必要十分条件が成り立つ:
「N・ が J-余有限複体であるための必要十分条件は N・のすべてのコホモロジー加群が M(A, J)cof に属することである. 」
問題: 次の特徴付けをみたす R-加群のアーベル圏 Mcof は存在するか？ N・が D(R, J)cof に属する必要十分条件は すべての N・のコホモロジー加群が Mcof に属することである. ただし, R を有限 Krull 次元正則環とする.
上記の問題に関し, 正則でない可換ネーター環で, 双対複体をもつという条件の下で, イデアル J が 1 次元イデアルまたは単項イデアルであるとき, 上記定理における主張にみられるような, 余有限複体の特徴づけを与えることに成功した. イデアル J が 2 次元または 2 元生成の状況では反例が知られている. 本結果により R. Hartshorne (1969/70 に出版されている) が与えた上記問題 (Hartshorne の第四問題) について, 可換ネーター環における 1 次元のイデアルおよび単項イデアルに対して 1 つの解答を与えたことになる.
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| 備考 |
(1)~Representation Theory, Operator Algebras and Hypergroups~,
(2)~The international meeting on Commutative algebra, Banach algebras (preserver problem), Hypergroups and their related topics~(上記参照)
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