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2014 年度 実施状況報告書

特異点の可換環論

研究課題

研究課題/領域番号 26400053
研究機関日本大学

研究代表者

渡辺 敬一  日本大学, 文理学部, 研究員 (10087083)

研究分担者 吉田 健一  日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2018-03-31
キーワード特異点 / 可換環論 / 整閉イデアル / core / 特異点解消 / Ulrich イデアル / Rees 環 / good ideal
研究実績の概要

平成26年度は主として2次元の正規特異点の整閉イデアルの性質を研究した。p_g イデアルの概念を定義していたが、p_g イデアルであることと、その Rees 環が正規かつCohen-Macaulay であることの同値性が示され、それを用いて I とその極小還元 Q に対して、Q:I が整閉であることが示された。また、この性質から I のコア core(I) を具体的に計算することが可能になった。イデアルのコアが具体的に与えられている場合は大変少ないので、これは大変興味深い結果と思う。
なお、この一連の研究は山形大学の奥間智弘教授、日本大学文理学部の吉田健一教授との共同研究で、日本数学会、第35回可換環論シンポジウム、アフィン代数幾何研究集会などで研究発表を行っている。
この他に、2次元次数つき超局面の分類、almost symmetric 半群の Ulrich イデアルの分類、一般化された Hilbert-Kunz 重複度の研究 (Kansas 大学 H. Dao 教授との共同研究)などを行い、国内、国外の研究集会で発表を行った。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初の研究の1つの大きな目標は、2次元の任意の正規特異点上で、good ideal の存在を示すことであった、しかし、core の理論を援用することにより、当初の目標を包括する形で、より一般の答えが得られた。
一般化された Hilbert-Kunz 重複度の理論も Dao 氏との共同研究の論文が仕上がり投稿中である。Ulrich ideal の理論についても論文が Nagoya Math. J. に受理され、順調に進行している。
以上述べたように、研究は概ね順調に進行している。

今後の研究の推進方策

今後は、2次元の特異点の p_g イデアルの理論をさらに発展させると共に、いろいろな特異点でのそのようなイデアルの例を豊富に揃えたい。こうすることにより、「2次元正規特異点におけるすべての整閉イデアルの挙動を理解する」という目標が達せられる。
Ulrich ideal, Hilbert-Kunz 重複度、F-threshold などの他のテーマに関しては、Kansas 大、Dao 教授、日本大学の吉田教授、山形大学の奥間教授などとの共同研究を積極的に推し進めていく。

次年度使用額が生じた理由

平成26年度は予定より物品費、出張旅費などが少なくて済んだため、この分は来年度に使用する予定である。

次年度使用額の使用計画

前年度未使用の分は、今年度研究発表旅費等に使用する予定である。

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2015 2014

すべて 雑誌論文 (3件) (うち査読あり 3件) 学会発表 (4件) (うち招待講演 2件)

  • [雑誌論文] Classification of 2-dimensional normal graded hypersurfaces2014

    • 著者名/発表者名
      K. Watanabe
    • 雑誌名

      Bull. Brazilian Math. Soc.

      巻: 45 ページ: 887-920

    • 査読あり
  • [雑誌論文] F 特異点 -- 正標数の手法の特異点論への応用2014

    • 著者名/発表者名
      高木俊輔 - 渡辺敬一
    • 雑誌名

      数学

      巻: 66 ページ: 1-30

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Ulrich ideals and modules2014

    • 著者名/発表者名
      S. Goto, K. Ozeki, R. Takahashi, K. Watanabe, K. Yoshida
    • 雑誌名

      Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society

      巻: 156 ページ: 137-166

    • 査読あり
  • [学会発表] Integrally Closed Ideals of 2-dimensional normal singularities,2015

    • 著者名/発表者名
      K. Watanabe
    • 学会等名
      第13回アフィン代数幾何研究集会,
    • 発表場所
      関西学院大学梅田キャンパス,
    • 年月日
      2015-03-09
    • 招待講演
  • [学会発表] Towards the theory of integrally closed ideals of 2-dimensional2014

    • 著者名/発表者名
      奥間智宏,吉田健一, 渡辺敬一
    • 学会等名
      第36回可換環論シンポジウム
    • 発表場所
      湘南国際村
    • 年月日
      2014-11-24
  • [学会発表] Ulrich Ideals,2014

    • 著者名/発表者名
      K. Watanabe
    • 学会等名
      International Meeting on numerical semigroups
    • 発表場所
      Palazzone, Cortona, Italy
    • 年月日
      2014-09-09
  • [学会発表] Ideal Theory of 2-dimensional normal singularities,2014

    • 著者名/発表者名
      K. Watanabe
    • 学会等名
      OSCAR 2
    • 発表場所
      岡山大学
    • 年月日
      2014-06-09
    • 招待講演

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公開日: 2016-05-27  

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