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2016 年度 実施状況報告書

ループ群による曲面のワイエルシュトラス型の表現公式とその応用

研究課題

研究課題/領域番号 26400059
研究機関北海道大学

研究代表者

小林 真平  北海道大学, 理学研究院, 准教授 (40408654)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2018-03-31
キーワードワイエルシュトラス型の表現公式 / ループ群 / ソリトン方程式 / 極小曲面 / 離散曲面
研究実績の概要

本年度は,反de Sitter空間の極小曲面と離散アフィン球面のワイエルシュトラス型の表現公式について研究を行った.まず反de Sitter空間の極小曲面について,同済大学(中国)のPeng Wang氏との研究打ち合わせをマサチューセッツ大学(アメリカ)において行い,研究の大幅な進捗が得られた.特に,正則化面積についての厳密な数学的定式化を得る事ができた.この成果は,幾何学および弦理論双方のコミュニティに取って十分な意義を持つ結果である.現在,論文発表に向けて研究結果の精査をしている所である.

次に離散アフィン球面のワイエルシュトラス型の表現公式については,福岡大学の松浦望氏との共同研究を行い,表現公式を完全に確立した.これによって,簡単な離散データをもちいて複雑な離散アフィン球面を得る事ができる.特に,非固有と呼ばれるクラスについての表現公式については,非常に簡明な表現公式を得る事ができた.連続の場合,ワイエルシュトラス型の表現公式は,無限次元リー群であるループ群の分解定理を用いている為,具体的に求める事はほとんどの場合困難である.しかしながら離散の場合,ループ群の分解が有限次元の問題に置き換わり,具体的に実行できる.従って様々な具体的な問題に応用できるという利点がある.実際に実用的なアルゴリズムや良い具体例の構成はこれからの課題である.この研究成果については,論文を纏めており2017年度中には投稿できる見込みである.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

反de Sitter空間の極小曲面について,研究上の重要な進展があった.また,ワイエルシュトラス型の表現公式の離散化という思いがけない方向の研究も進展があった.結果として,ワイエルシュトラス型の表現公式の離散化については,論文を纏める所までできている.

今後の研究の推進方策

反de Sitter空間の極小曲面の正則化面積についての結果を精査して論文に纏める.また,当初の目的であった複素リー群SO(6, C)のループ群の実型の分類を用いた,ワイエルシュトラス型の表現公式の統一的記述を目標にする.

次年度使用額が生じた理由

2016年度末のアメリカにおける研究打ち合わせと国際研究集会での発表が,2017年度にまたがっており,その為形式的に次年度繰越が生じている.従って実質的には,繰越はない.

次年度使用額の使用計画

本年度は,8月にドイツに微分幾何と可積分系の国際研究集会が開かれる予定であり,これに参加,発表する.またこれに合わせて,共同研究者との打ち合わせを適宜行う予定である.

  • 研究成果

    (12件)

すべて 2017 2016 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (3件) (うち国際共著 2件、 査読あり 3件、 謝辞記載あり 3件) 学会発表 (5件) (うち国際学会 2件、 招待講演 4件) 図書 (1件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] ミュンヘン工科大学(ドイツ)

    • 国名
      ドイツ
    • 外国機関名
      ミュンヘン工科大学
  • [国際共同研究] 同済大学(中国)

    • 国名
      中国
    • 外国機関名
      同済大学
  • [雑誌論文] A loop group method for minimal surfaces in the three-dimensional Heisenberg group2016

    • 著者名/発表者名
      Josef F. Dorfmeister, Jun-ichi Inoguchi, Shimpei Kobayashi
    • 雑誌名

      Asian Journal of Mathematics

      巻: 20 ページ: 409-448

    • DOI

      DOI: http://dx.doi.org/10.4310/AJM.2016.v20.n3.a2

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] A loop group method for affine harmonic maps into Lie groups2016

    • 著者名/発表者名
      Josef F. Dorfmeister, Jun-ichi Inoguchi, Shimpei Kobayashi
    • 雑誌名

      Advances in Mathematics

      巻: 298 ページ: 207-253

    • DOI

      http://doi.org/10.1016/j.aim.2016.04.018

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] A construction method for discrete constant negative Gaussian curvature surfaces2016

    • 著者名/発表者名
      Shimpei Kobayashi
    • 雑誌名

      Mathematical Progress in Expressive Image Synthesis III, Extended and Selected Results from the Symposium MEIS2015

      巻: 3 ページ: 21-33

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] A construction method for discrete indefinite affine spheres2017

    • 著者名/発表者名
      Shimpei Kobayashi
    • 学会等名
      The Tenth IMACS International Conference on Nonlinear Evolution Equations and Wave Phenomena: Computation and Theory
    • 発表場所
      ジョージア大学(アメリカ合衆国・アセンズ)
    • 年月日
      2017-03-31 – 2017-03-31
    • 国際学会
  • [学会発表] Surfaces with constant Gaussian curvature in the 3-dimensional hyperbolic space via loop groups2017

    • 著者名/発表者名
      Shimpei Kobayashi
    • 学会等名
      Geometry colloquium
    • 発表場所
      マサチューセッツ大学(アメリカ合衆国・アマースト)
    • 年月日
      2017-03-27 – 2017-03-27
    • 招待講演
  • [学会発表] 平均曲率一定曲面に対するワイエルシュトラス型の表現公式(入門)2016

    • 著者名/発表者名
      Shimpei Kobayashi
    • 学会等名
      幾何学コロキウム
    • 発表場所
      北海道大学(北海道・札幌市)
    • 年月日
      2016-12-16 – 2016-12-16
    • 招待講演
  • [学会発表] Constant negative Gaussian curvature surfaces in the 3-dimensional hyperbolic space2016

    • 著者名/発表者名
      Shimpei Kobayashi
    • 学会等名
      One day workshop at Waseda Univeristy
    • 発表場所
      早稲田大学(東京都・新宿区)
    • 年月日
      2016-10-08 – 2016-10-08
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 可積分系の手法によるリー群への調和写像2016

    • 著者名/発表者名
      Shimpei Kobayashi
    • 学会等名
      第63回幾何学シンポジウム
    • 発表場所
      岡山大学(岡山県・岡山市)
    • 年月日
      2016-08-27 – 2016-08-27
    • 招待講演
  • [図書] 曲面とベクトル解析2016

    • 著者名/発表者名
      小林 真平
    • 総ページ数
      216
    • 出版者
      日本評論社
  • [備考]

    • URL

      https://sites.google.com/site/kobayashishimpeisite/

URL: 

公開日: 2018-01-16  

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