研究実績の概要 |
本研究はリーマン面の研究を軸として, 代数幾何, 微分幾何や組み合わせ論的な観点を交えることにより新しい研究手法を開発することを目的とする。平成26年度の研究に於いては, 以前の研究で得られていた代数多様体上の代数曲線の変形を詳しく調べる手法に組み合わせ論的な手法をあわせることで, K3曲面と呼ばれる重要な代数曲面上の有理曲線の存在についての新しい結果を得た。また, アーベル曲面上の代数曲線について, トロピカル曲線と呼ばれる組み合わせ論的な対象との対応を用いた手法を用いることにより, 平面上の周期的グラフを用いた理解を可能にした。その過程で, 周期的とは限らない一般次元空間内のグラフと高次元代数多様体上が退化した多様体上の代数曲線との関係についての新しい知見を得た。特に, グラフが通常期待されるよりも多くの変形を持つ場合が問題となるが, そのような場合についてこれまで知られていなかった現象を発見し, 今後の研究に対する指針を得られた。更に, 代数曲線がカスプを持つようなものに退化する場合にグラフの側でどういう現象が起こるかはこれまで平面上の場合しか分かっていなかったが, 一般次元の場合に起こる現象を発見でき, もう一つの研究の方向を得た。この現象は従来のトロピカル幾何学では考えられてこなかったグラフを扱う必要があり, そのために新しい変形理論が必要となるが, それがどのようなものであるべきか具体例の計算を通じて検証した。
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