| 研究課題/領域番号 |
26400062
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
正宗 淳 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (50706538)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | マルコフ過程 / 再帰性 / 保存性 / グリーンの公式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の主目的の一つは，マルコフ過程と呼ばれる重要な確率過程のクラスの長時間挙動における問題の解決にある．より具体的には，基礎的かつ中心的問題である，マルコフ過程の「再帰性」と「保存性」と呼ばれる性質を調べ，さらに，それらの性質をマルコフ過程が定義されている空間の無限遠の幾何学で特徴付けを行うことを目標とした．マルコフ過程の重要な具体例である，グラフ及びリーマン多様体の乱歩及びブラウン運動の再帰性とこれらの空間の無限遠における関係については古来深い研究が行われており，多くのことが知られている．特に，ベクトル場及び関数に対するグリーンの公式の類似により様々な特徴付けがなされてきた．一方，保存則の決定の問題は再帰性の問題よりも困難であり，特に，グリーンの公式による特徴づけは，A. Grigoryan and J. Masamune (2013) による重み付きリーマン多様体のブラウン運動に対する結果しか存在しない．
従来の研究はマルコフ過程の長時間挙動が空間の無限遠の幾何学と密接に関連することを示唆するが，そこにおける議論においてはグラフ及びリーマン多様体の空間としての特徴が本質的に用いられており，それらの手法をより一般の空間で展開することは不可能である．すなわち，一般的な状況においては，マルコフ過程の再帰性及び保存性が，それが定義されている空間の無限遠の幾何学で特徴付けされるかは不明であった．本研究はこの問題を追及し，非常に一般的な状況で先ずグリーンの公式を定式化し，さらに，それを用いてマルコフ過程の再帰性と保存性を空間の無限遠の幾何学で特徴付けた．この研究で得られた結果は，D. Lenz etalとの共同研究として論文にまとめられ，arXivに掲載され，然るべき数学専門雑誌に投稿済みである．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の主目的の一つは，マルコフ過程と呼ばれる重要な確率過程のクラスの長時間挙動における問題の解決にある．とりわけ重要な問題である再帰性と保存性を空間の幾何学で特徴付けすることが目的であった．本研究においてこの目的は完全に達成された為，おおむね順調に進展していうと考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
申請者は本研究の主目的の一つである，マルコフ過程と呼ばれる重要な確率過程のクラスの長時間挙動における問題の解決を，特に，空間の無限遠の幾何学で特徴付けた．この研究は定性的な結果である．今後の発展として，当初の予定に従い，より定量的な特徴付けを目指す．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
招聘予定の研究者の内数人が，相手の健康上の理由により，招聘することができなかった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
27年度の夏に研究集会を行うことで使用する予定である．
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