| 研究課題/領域番号 |
26400074
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| 研究機関 | 明治大学 |
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研究代表者 |
長友 康行 明治大学, 理工学部, 教授 (10266075)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | ベクトル束 / ゲージ理論 / 調和写像 / 正則写像 / モジュライ空間 / 表現論 |
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| 研究実績の概要 |
高橋の定理といわれるリーマン多様体から球面への調和写像に関する定理の一般化に成功した後、この一般化された高橋の定理を利用して、do Carmo-Wallach理論を定義域がコンパクト等質リーマン多様体の場合に拡張することに成功していた。
今年度はまず、この拡張されたdo Carmo-Wallach理論のさらなる一般化を試み、定義域がコンパクトリーマン多様体であるときの定式化を与え、これを証明することに成功した。さらに、この一般化では、ケーラー多様体から複素グラスマン多様体への正則写像の場合には、得られた方程式はゲージ群の作用に対する運動量写像として説明できることもわかった。また、研究代表者の導入したグラスマン多様体への写像に対するゲージ同値性によるモジュライ空間の記述が拡張されたdo Carmo-Wallach理論の帰結であるが、ホロノミー群の構造群内における中心化群の作用を考慮すれば、従来用いられてきた像同値性によるモジュライ空間の記述も可能であることがわかった。
これにより、昨年度に得られていた複素射影直線から複素射影空間内の複素２次超曲面への正則等長写像のゲージ同値性によるモジュライの記述から像同値性によるモジュライの記述が得られた。前者のモジュライ空間はL2内積とベクトル束の複素構造から得られるケーラー構造を持っていたが、上述したホロノミー群の中心化群はそのモジュライ空間にケーラー構造を保つように作用していることがわかった。その作用による商空間が像同値性によるモジュライ空間となるのである。したがって、運動量写像によるケーラー商を
利用すれば、像同値性によるモジュライ空間はケーラー部分多様体による葉層構造を持つこともわかった。従来の研究方法では、この葉層構造を発見することは困難であると思えるが、自然にそのような構造の存在が見出せることにこの理論の強みがあると思われる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
最大の理由は、これまでに研究代表者によって拡張されてきたdo Carmo-Wallach理論においては、定義域を従来のdo Carmo-Wallach理論におけるのと同じく、コンパクト等質リーマン多様体に限定していたが、この制限を取り払い、do Carmo-Wallach理論を定義域が一般のコンパクトリーマン多様体の場合にも適用できることを示すことに成功したからである。
さらに、4次元ユークリッド空間上のインスタントンのADHM構成法において、得られていた方程式は超ケーラー運動量写像とみなすことが出来たが、我々の理論においても、ケーラー多様体から複素グラスマン多様体の正則写像の場合には、得られた方程式がケーラー運動量写像とみなせることに成功したことも理由のひとつである。
そして、この研究の前段階で得られた写像に対するゲージ同値性という概念から、ベクトル束の接続のホロノミー群を考慮することによって、従来の研究で用いられてきた像同値性（合同）のモジュライの記述ができることがわかったことも理由として挙げられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
先にかなり満足の行く形で一般論を構築できたので、この応用例が豊富にあることを示したい。具体的には、複素射影直線から複素射影空間内の2次超曲面への正則等長写像ではない、一般の調和写像のモジュライ空間を記述することを目標としたい。
さらに定義域を複素射影直線から、さまざまなコンパクトリーマン多様体へ変更することも視野に入っている。具体的には他のコンパクトリーマン面やコンパクト対称空間などが候補である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究代表者、および共同研究者の研究打ち合わせにおいて、3月がお互いにとって多くの時間を費やすことが出来る時期であると判断したので、3月に行った研究打ち合わせにかかった費用が次年度に使用される費用として計上されていることが大きな理由である。
また、出来るだけ安い費用で研究打ち合わせや情報収集に出かけることを心がけている結果でもある。
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| 次年度使用額の使用計画 |
引き続き、共同研究者との研究打ち合わせに使用するつもりである。また、専門書の購入にも研究費を使用していきたいと思っている。これは、本研究において、新たなリーマン多様体を視野に入れることを計画しているからである。
もちろん、今後とも無駄なく、効率的に研究費を使用していく予定である。
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