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2016 年度 実績報告書

ベクトル束と調和写像のADHM構成法

研究課題

研究課題/領域番号 26400074
研究機関明治大学

研究代表者

長友 康行  明治大学, 理工学部, 専任教授 (10266075)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2017-03-31
キーワードベクトル束 / ゲージ理論 / 調和写像 / 正則写像 / モジュライ空間 / 表現論
研究実績の概要

今年度は、まず複素射影直線から複素ベクトル空間内の2次元部分空間からなる複素グラスマン多様体への同変正則写像の分類問題を研究した。この問題は、同変性からある条件を満たす群の軌道の分類に帰着されるので、この観点からの先行研究がいくつか存在する。しかし次元が高くなると組み合わせの問題が複雑になり、分類は完成されていなかった。そこで、本研究で進展した理論を用いるために、ベクトル束に注目し、複素射影直線上の階数2のベクトル束の不変接続の分類に問題を帰着させることに成功した。この不変接続の分類では層の理論が有効に使われる。その結果、不変接続のゲージ同値類は0以上の実数全体と同一視できることが証明された。この中で、正則写像によって誘導される不変接続を決定することが次の課題となった。このとき、正則写像の場合には研究代表者の定義した平均曲率作用素が、正則ベクトル束の平均曲率作用素と一致し、したがって、曲率を計算することによって求められることがわかる。すると平均曲率作用素が非正の対称作用素であることから、写像によって誘導される不変接続に対する必要条件が得られる。これが十分条件であることを示すことに成功した。そのモジュライ空間はある層係数コホモロジー群のトーラス作用による商空間とみなせるので、L2内積により自然なトポロジーが導入される。そこで、モジュライ空間のコンパクト化を考察すると、「直和型」と「退化型」の写像が得られることも理解できた。
次に複素射影空間内の複素超曲面の内、複素射影空間のキリングベクトル場の制限がまたその超曲面のキリングベクトル場になるような超曲面を求める問題を考察した。全測地的超曲面がこの性質を持つことは明らかであるが、それ以外にそのような超曲面が存在するのかどうかを決定することが問題となった。この問題も正則性を利用することにより、完全な分類を得ることに成功した。

  • 研究成果

    (4件)

すべて 2017 その他

すべて 国際共同研究 (1件) 雑誌論文 (1件) (うち国際共著 1件、 査読あり 1件、 謝辞記載あり 1件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件)

  • [国際共同研究] Faculty of Mathematical Science/University of Valencia(Spain)

    • 国名
      スペイン
    • 外国機関名
      Faculty of Mathematical Science/University of Valencia
  • [雑誌論文] Holomorphic Isometric Embeddings of the Projective line into Quadrics2017

    • 著者名/発表者名
      O.Macia, Y.Nagatomo, M.Takahashi
    • 雑誌名

      Tohoku Mathematical Journal

      巻: 印刷中 ページ: 印刷中

    • 査読あり / 国際共著 / 謝辞記載あり
  • [学会発表] Harmonic maps of the complex projective line to complex hyperquadrics2017

    • 著者名/発表者名
      Yasuyuki Nagatomo
    • 学会等名
      13th OCAMI-RIRCM Joint DG workshop on Submanifold Geometry and Lie Theory
    • 発表場所
      大阪市立大学
    • 年月日
      2017-03-27 – 2017-03-30
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体への同変正則埋め込みの分類2017

    • 著者名/発表者名
      古賀勇、長友康行
    • 学会等名
      日本数学会
    • 発表場所
      首都大学東京
    • 年月日
      2017-03-24 – 2017-03-27

URL: 

公開日: 2018-01-16  

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