| 研究課題/領域番号 |
26400076
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
陶山 芳彦 福岡大学, 理学部, 教授 (70028223)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | conformally flat / Guichard net / Ribaucour transformation / duality / associated family / Goursat transformation |
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| 研究実績の概要 |
(1) 共形平坦な超曲面の双対超曲面について研究し、以下の結果を得た： ユークリッド空間内のgenericで共形平坦な超曲面に対しては、その双対超曲面がユークリッド空間に存在する。この双対超曲面もまたgenericで共形平坦であるが、一般的には、双対超曲面と元の超曲面の共形構造は異なる。双対超曲面の積分公式が元の超曲面の情報から得られた。この時、双対超曲面は、ユークリッド空間内に、元の超曲面と主曲率方向が平行になるように実現される。1つの共形平坦な超曲面から、一般的には、5次元の双対超曲面が定義できる。共形平坦な超曲面の各双対対に対し、それらのGuichard netsから決まるRibaucour対が構成され、逆に、Guichard netsのRibaucour対から共形平坦な超曲面の双対対が構成される。
(2) 空間形内のgenericで共形平坦な超曲面の存在問題は、Guichard netの存在と同値であることは知られていた。しかし、Guichard netから、実際に空間形内に埋め込まれた超曲面の、第一基本形式・第二基本形式を決定する方法はわかっていなかった。本研究で、この問題を解決した： 即ち、Guichard netから決まるユークリッド空間の超曲面に関して、そのGuichard netからガウスとコッダチのデータを決定する方法を与えた。また、1つのGuichard netから、共形平坦な超曲面のRibaucour対を構成する方法を与えた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の欄で述べたように、共形平坦な超曲面からできる空間には多くの非自明な変換が作用する。このことより、共形平坦な超曲面からできる空間は非常に大きな空間になっていることがわかった。これらの結果により、本研究の重要さを再認識できて研究に弾みがつき、ますます研究への意欲が高まってきている。
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| 今後の研究の推進方策 |
共形平坦な超曲面からできる空間の決定： 1つの共形平坦な超曲面に対し，負の定曲率2次元(局所的)リーマン計量の1次元パラメータ族が対応することがわかった。この逆の問題を現在考えている。即ち、どのような負の定曲率2次元リーマン計量の1次元パラメータ族が共形平坦な超曲面を定めるか、という問題である。この問題が解ければ、カルタンの1917年の論文以来のオープンプロブレムに解答を与えることになる。研究実績の概要で記したように、共形平坦な超曲面の存在はGuichard netの存在問題に帰着されるので、上の問題は、ある種の3次元共形平坦計量の存在問題となり、”3階偏微分方程式の4つの連立方程式の幾何学的解法を求めよ”という問題になる。従って、幾何学的可積分系理論の高次元版を構成する問題に帰着し、大変興味深く研究する価値が高いと思われる。現在精力的に研究を行っている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度にイギリス、バース大学教授・Francis Burstall氏を招へいし、研究連絡と共同研究をすることになったため、本年度の支出を抑えた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
当初の次年度使用計画に加えて、イギリス、バース大学教授・Francis Burstall氏を5月に2週間程度招聘し、研究連絡と共同研究を行う。本年度の未使用額は、この招聘費として使用する。
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