| 研究課題/領域番号 |
26400076
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| 研究機関 | 福岡大学 |
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研究代表者 |
陶山 芳彦 福岡大学, 理学部, 教授 (70028223)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | conformal flatness / hypersurface / Guichard net / evolution equation / constant curvature / 2-metric |
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| 研究実績の概要 |
genericで共形平坦な超曲面の空間と定曲率-1を持つ(局所的)2次元リーマン計量のあるクラスとの間の1対1対応を与え、カルタンの1917年の論文以来の未解決問題に対する解答を与えた： genericで共形平坦な超曲面のGuichard netに対し、定曲率-1を持つ2次元リーマン計量の発展が対応する。また逆に、定曲率-1を持つ2次元リーマン計量のあるクラスに属する計量に対しては、その計量を初期条件としGuichard netを導く2次元リーマン計量の発展が存在する。この初期条件となる計量のクラスは定曲率-1を持つ2次元リーマン計量の中で大変大きな集合となり、このクラスの特徴づけを行った。
共形平坦な超曲面の存在はGuichard netの存在問題に帰着されるので、カルタンの未解決問題はGuichard条件を満たす3次元の共形平坦計量の存在問題と同値であり、それは複雑な3階偏微分方程式の４連立方程式の一般解を求める問題となる。この問題を幾何学で最も基本的な定曲率$-1$を持つ2次元リーマン計量の問題に帰着させて解いたことは大変価値のある結果であると思われる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
これまでの研究で、genericで共形平坦な超曲面の局所的性質に関するカルタンの未解決問題に１つの解答を与えた。このことは、本研究課題が当初の計画以上に進行したことを示している。
これらの結果を得たことにより、本研究課題において、genericで共形平坦な超曲面に関して局所的性質と大域的性質を合わせて研究することが可能となり、今後の大域的研究の進展が大いに期待できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
カルタンの未解決問題を解決した方法を利用して、genericで共形平坦な超曲面とその双対超曲面の局所的関係を更に詳しく調べる。
上の課題について研究しその局所的性質と合わせることにより、genericで共形平坦な超曲面に関しての大域的性質を研究する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
3月に研究打ち合わせのための出張を行う予定だったが, 5月に変更になったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
5月に変更になった出張の旅費とする.
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