| 研究課題/領域番号 |
26400080
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
川村 一宏 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40204771)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 線形作用素 / 無限次元 / 等長変換 / 荷重合成作用素 |
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| 研究実績の概要 |
本年度は関数空間の等長変換についての研究を行った。古典的なBanach-Stoneの定理は,コンパクトハウスドルフ空間上の複素数値連続関数のなすバナッハ空間の複素線形等長変換は，常に絶対値1の荷重を持つ合成作用素であることを主張する。一方適当な関数空間上の実線形等長変換で荷重合成作用素でないものが知られている。三浦毅氏との共同研究により、荷重合成作用素でない実線形等長変換を許容するような関数空間の底空間は常に、単位円周によってパラメータ付けされるイソトピーを持つことを示した。逆に，このようなイソトピーを持つ空間上の関数空間で荷重合成作用素でない等長変換を持つものを構成する組織的な方法を与えた。従来のBanach Stone型定理の研究は，関数空間に制限を課して「すべての等長変換は荷重合成作用素である」という主張を目指していたことに比して、本結果は荷重合成作用素でない等長変換を許容する関数空間の底空間はそのトポロジーに強い制限を受けることを示した、という意味で新しい研究方向を示唆するものである。以上の結果は論文として纏めて既に投稿されている。このような等長変換の定める力学系の振舞いを研究することが次の課題である。
次に上の考察をベクトル値関数の空間およびベクトル束の切断のなす空間上に拡張し、等長変換が常に荷重合成作用素であるような関数空間の底空間のトポロジーを考察した。ベクトル値関数を考察した先行研究では、等長変換の荷重合成作用素としての特徴づけのために本質的な条件を明示することはなされなかった。本研究では実線形等長変換が常に荷重合成作用素であるような関数空間の持つ十分条件を明示し、更に底空間の位相次元との間に関係を見出した。この結果も新しい方向を拓いた結果といえる。論文は電子版で既に出版されている。応用として四元数値連続関数空間上のBanach Stone型定理を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
関数空間の等長変換についてのBanach Stone型定理について、新しい研究方向を拓くことができた。特に一般・幾何学的トポロジーの手法を関数解析学の問題に応用する研究において将来性のある研究方向を見出し、ある程度まで満足できる結果を得ることができたと思う。一方でこれらの等長変換の力学系的な研究は次年度の課題として残されている。特に等長変換の定義する力学系の位相推移性やカオス性についての研究は未だ十分に着手できていない。このことを勘案すると研究全体としてはおおむね順調な進展しておりまた次年度に向けた課題を明確にすることができたということができる。
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| 今後の研究の推進方策 |
等長変換の定義する力学系的研究、特にその位相推移性・カオス性およびスペクトルの研究がまず着手すべき問題である。荷重合成作用素の力学系は特に無限次元シフト作用素についてよく調べられているので、これらをモデルとしながら一般・幾何学的トポロジー的手法を応用する研究を行う。
関数空間には同じトポロジーを導く同値でないノルムが入る. 各ノルムの特徴を等長変換群（＝ノルムのモジュライ空間）を通して研究することは重要な問題である。本年度は古清水大直・三浦毅氏との共同研究によって、単位区間上の1回連続微分可能空間上のＣ１トポロジーを誘導するノルムを統一的に扱う方法を得ることができた。これをプロトタイプとしてより一般の関数空間で同様の問題を考察し、等長変換群の決定および等長変換の定める力学系を研究する。
特にコンパクトリーマン多様体・コンパクトMenger多様体・pseudo-arcなど幾何学的トポロジーにおいて標準的な空間の上の関数空間について(i)等長変換が常に荷重合成作用素であるか(ii)荷重合成作用素でない等長変換はどのような特性を持ちどのような力学系的なふるまいをするかについて研究する。
本研究課題最終年度として年度の終わりに研究集会を開催し，3年間の総括およびその後の研究方向について議論する。
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