| 研究実績の概要 |
研究代表者・藤井道彦は、有限生成な離散群 G に対して、有限生成系 Γ を一つ選び、群 G の Γ に関するケーリー・グラフ X を考んがえて、X 内の測地線を考察し、群 G のオートマティック構造を構築し、群 G の増大級数 Z の計算を行った。具体的には、２以上の２つの自然数 p と q を与えると定まる、２つの無限巡回群の融合積となる群 G(p,q) について、２つの無限巡回群の融合積とみなした場合に最も自然な生成系 Γ を選んで、群 G(p,q) の増大級数の計算を行った。この群 G(p,q) は、特別な場合（すなわち、p=2 かつ q が奇数の場合）には、２面体型の Artin 群（３本ブレイド群の一般化）となるが、ここで選んだ生成系 Γ は、Artin 群とみなした場合に最も自然な生成系となるものとは異なっている。
(1) 群 G(p,q) に対応するポジティブ・モノイド G(p,q)+ が群 G(p,q) に自然に単射に埋め込めることを証明した。
(2) ポジティブ・モノイド G(p,q)+ の代表元を受理するオートマトンを構成し、G(p,q)+ の増大級数の有理関数表示を与えた。
(3) 群 G(p,q) の元の代表元が Γ に関して測地的となるための必要十分条件を記述した。
(4) 群 G(p,q) の元がただ一つだけ測地的代表元をもつための必要十分条件を記述した。
(5) 群 G(p,q) の Γ に関する球面的増大級数の有理関数表示を与えた。
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