| 研究実績の概要 |
研究代表者・藤井道彦は、有限表示可能な離散群 G に対して、幾何的あるいは代数的な観点から最も自然な有限生成系 Γ を選び、群 G の有限生成系 Γ に関するケーリー・グラフ X を考えて、 X 内の測地線を考察し、群 G の測地的ワードアクセプターの構築、および、群 G の有限生成系 Γ に関する球面的増大級数 SZ および測地的増大級数 GZ に関する研究を行った。具体的には、主に、２以上の自然数 p と q を与えると定まる、２つの無限巡回群の融合積となる群 G(p,q) を考察した。群 G(p,q) は、生成系の正の文字のみから成る関係式をもつので、群 G(p,q) に対応するポジティブ・モノイド G(p,q)+ が自然に定まる。
平成２６年度および平成２７年度の研究で、(1) G(p,q)+ が G(p,q) に自然に埋め込まれることを証明した；(2) G(p,q) の元の代表元が Γ に対して測地的であるための必要十分条件を記述した；(3) G(p,q) の元がただ一つだけ測地的な代表元を持つための必要十分条件を与えた；(4) G(p,q) の Γ に対する球面的増大級数 SZ の有理関数表示を与えた；(5) G(2,5) の測地的代表元を決定し、すべての測地的代表元を受理するワードアクセプターを構築し、G(2,5) の測地的増大級数 GZ の有理関数表示を与えた。
本研究の最終年度の平成２８年度には、上記の結果を一般化して、(6) すべての p と q について、G(p,q) のすべての測地的代表元を受理するワードアクセプターの構築に成功し、G(p,q) の測地的増大級数 GZ の有理関数表示を与えた。また、連携研究者・佐藤と共同で、二面体型の純 Artin 群の測地的増大級数の有理関数表示を与えることにも成功した。
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