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2015 年度 実施状況報告書

曲面群の指標多様体の幾何的分解と力学系的分解

研究課題

研究課題/領域番号 26400088
研究機関奈良女子大学

研究代表者

山下 靖  奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (70239987)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2017-03-31
キーワード双曲幾何学 / 3次元多様体
研究実績の概要

曲面Σの基本群πからリー群Gへの表現全体の空間Hom(π,G)には群Gが共役により作用する。この作用による幾何学的不変式論の意味での商空間Xを指標多様体という。この指標多様体を、表現の像が離散群になる部分とそうでない部分に分割すると、前者はΣのG構造の変形の空間とみなすことができる。特にGがSL(2、C)の場合は双曲幾何構造の変形空間であり、重要な研究対象である。また、指標多様体には曲面Σの写像類群が自然に作用し、この作用の複雑さによっても指標多様体は2つに分割される。これら2つの関係は未解明な部分が多い。
平成27年度においては、双曲多様体の絡み目体積についての研究を行った。絡み目体積とは、3次元多様体を3次元球面の分岐被覆として表示したときの複雑さを測る指標であり、アーカンソー大学のヨアフ・リエック氏と共に本研究代表者が近年導入したものである。とくに多様体がカスプを持つ体積有限非コンパクト双曲多様体である場合は、双曲デーン手術と呼ばれる双曲構造の変形が考えられ、この操作によって双曲体積がどのように変化するのかについてはある程度知られていたが、絡み目体積がどのようにふるまうのかは知られておらず、特に双曲体積と絡み目体積の関係はほとんど何も知られていなかった。今年度の研究によって、カスプの数が1つの場合における絡み目体積の変化について、cosmetic surgeryと呼ばれる概念とFarey triangulationと呼ばれるグラフを活用することにより調べ、絡み目体積と双曲体積はまったく異なった値になる得ること、特に両者の比が無限大に発散す例の存在を示すことができた。これは、絡み目体積が双曲体積では測ることのできない別の種類の複雑さをとらえているとみなすことができる。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

当初の計画においては、平成27年度に指標多様体内で対応する表現の像が離散群になる部分とそうでない部分の研究を行う予定であった。絡み目体積および双曲体積の関係についての研究結果を得ることにより、このような離散群の研究を進展させることができた。そのため、上記の区分とした。

今後の研究の推進方策

平成27年度に得られた結果は、3次元双曲多様体の中でもカスプと呼ばれる特徴的な部分集合の数が1つの場合に限られていた。これをより一般の数が多い場合に拡張しても、絡み目体積と双曲体積の関係において同様の現象が生じることが期待され、今後の研究課題となっている。
また、離散群の性質を調べ上で、群の各要素に対してcanonical representativeと呼ばれる代表系について研究することが有効であり、こちらの研究も推進する予定である。

次年度使用額が生じた理由

海外出張で使用を予定していた分が、招待講演だったため旅費・宿泊費などを支出しなくてよくなったため。

次年度使用額の使用計画

平成28年度に海外旅費として使用予定である。

  • 研究成果

    (2件)

すべて 2015 その他

すべて 学会発表 (1件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件) 備考 (1件)

  • [学会発表] The geometric and dynamical decompositions of the character veriety of the free group of rank two2015

    • 著者名/発表者名
      Yasushi Yamashita
    • 学会等名
      Group representations in dynamical systems and geometry
    • 発表場所
      Luminy, France
    • 年月日
      2015-07-02 – 2015-07-02
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] Yasushi Yamashita

    • URL

      http://vivaldi.ics.nara-wu.ac.jp/~yamasita/

URL: 

公開日: 2017-01-06  

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