| 研究課題/領域番号 |
26400090
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
森本 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (30166441)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 変換群論 / 多様体 / 不動点集合 / 同変手術理論 / ギャップ条件 / 国際研究者交流 / ヨーロッパ |
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| 研究実績の概要 |
平成２６年度の研究では，複素射影空間（あるいはその系列）上の不動点（集合として得られる）多様体の決定を目的として，初めに線形作用に同伴する複素射影空間 Y = P(V) のギャップ条件が成り立つか否かの考察から始めた。 V が複素正則表現と自明表現，それぞれをいくつか直和したものである場合に不動点の次元を計算し，ギャップ条件が満たされる必要十分条件を決定した。
次に，作用する群を具体的に G = A_5 （５次の交代群）とした場合に，同変手術障害類の消滅を示す鏡影手法の研究を行った。A_5 の場合には部分群の個数が少なく，またそれらのなす格子が複雑ではないため，同変枠付写像の同変手術において，鏡影手法がきわめて旨く機能し，球面の列や複素射影空間の列において，不動点集合の構成に成功した。得られた結果の一部を簡単に述べておこう。F が ディスク D 上の作用の不動点集合として得られる閉多様体であるならば，次の性質をみたす自然数 N が存在する： k が N 以上であるならば， F は k-次元球面上のあるA_5-作用の不動点集合となる。さらに，F が偶数次元であるならば，F は k-次元の複素射影空間上のあるA_5-作用の不動点集合となる。これらの結果は数理解析研究所研究集会で口頭発表し，またその講究録に論文として発表した。
また，球面上の作用の不動点集合として得られる閉多様体とディスク上の作用の不動点集合として得られる閉多様体の間の関係についても研究を行い，その研究成果については，DMV-PTM （ドイツ数学会，ポーランド数学会）会議や第４１回変換群論シンポジウムで口頭発表した。
さらに，バーンサイド環とその上の加群である一般コホモロジー理論 ω_G(Y)，それらの局所化を用いた同変枠付写像の構成方法を研究した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究の初年度であったため，研究内容が具体的な計算や具体的な群に関する研究であったため，研究上の大きな障害がなかった。また，研究に専念する時間も予定通り確保できたため，研究は研究計画に沿って順調に進展した。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成２６年度には，作用する群 G は5次の交代群，作用する空間は複素射影空間などの単連結多様体に限定し，指定された多様体を不動点集合とする空間列の上の作用の存在に対する障害類を研究した。
その結果，一般個コホモロジー ω_G(Y) と同変枠付写像のコボルディス類全体との対応を研究することが本課題研究において重要であるとわかった。そこで，その対応について研究し，同変手術障害類の消滅をホモとピー論を利用して示す理論の開発に取り組む。
この研究の進展に応じて，G が 6 次交代群の場合，奇数次元の多様体 F を不動点集合とする複素射影空間の上の作用の系列，また実射影空間やレンズ空間上の作用の系列について変換群論の研究を行う。
また，研究を効率的に推し進めるため，国内，国外の変換群論研究者と研究情報の交換や，研究手法についての討議を頻繁に行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
購入を予定していた書籍が絶版となっていたため，物品費の使用が予定額より少なくなった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
上記 10,511 円は本年度の研究に必要な消耗品の購入にあてる。
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