| 研究実績の概要 |
G を有限群，F を（ある条件を満たす）閉多様体とする．「ある条件」としては，例えば「F はディスク上の滑らかなG－作用の不動点集合となるもの」などがある．本研究課題は，複素射影空間の列，実射影空間の列，レンズ空間の列のような特定の空間の列 X_1, X_2, X_3, ・・・, X_n, ・・・ に対し， n > N ならば X_n は F を不動点集合とする滑らかなG－作用を持つ，という条件を満たす自然数 N が存在するか否かを研究している．G が十分多くの部分群を持つ単純群であれば，k(n)-次元球面 S の列の上のG－作用を Oliver 理論を用いて構成し，それを利用し F を不動点集合とする X_n 上のG－作用を構成し，課題を解決できる．このため部分群があまり多くない（非可換）単純群 G の場合に，例えば G が 5 次や 6 次の交代群 A_5, A_6 の場合に，この問題の研究が重要である．これまでの研究では，初めに，G = A_5，(X_n) が単連結空間の列の場合に同変手術理論とs－同境理論を用いて問題解決ができた．次に，G = A_5，(X_n) が単連結ではない空間の列の場合に，s-ホモトピー同値の Wall 群 L(Γ(G, X_n)) から逆極限 Inv-Lim L(Γ(H, X_n)) への自然な写像の余核を利用し，同変手術理論とs－同境理論を用いて問題解決ができた．ここで H は G の真の部分群全体を渡り，Γ(H, X_n) は位相空間 EH x_H X の基本群である．この研究と関連し Burnside 環 A(G) から逆極限 Inv-Lim A(H)，H は G の真の部分群を渡る，への自然な写像の余核が自明な群となる必要十分条件は G が位数が異なる素数の冪である巡回群であることを証明した．
|
