| 研究実績の概要 |
抽象安定ホモトピー圏Cに対してHopkinsはその可逆対称のなす部分圏であるピカール圏Pic(C)を導入した。ピカール圏は圏Cの重要な指標の一つである。素数pと自然数nに対して、MoravaのK理論K(n)で局所化されたスペクトラムのなす安定ホモトピー圏のピカール圏Pic_nを考えるとこれは集合なので、アーベル群をなすことが分かる。K(n)はスペクトラムの成す安定ホモトピー圏のある意味素イデアル的な意味を持ち重要であり多くの研究者により研究されている。ここではK(n)の代わりにJohnson-WilsonのスペクトラムE(n)で局所化したスペクトラムの成す圏のピカール圏Pic(n)を用いてPic_nの研究することを目的としていた。これらのPicard群は代数的に決定できる部分と幾何学的な考察が必要な部分に分けられる。代数的な部分はある意味わかりやすいので幾何学的な部分を考察した。これまでは、予想外の状況が起きていたため当初の計画通りには進んでいなかったが、最終年度に入り、Pic_nの幾何学的な部分の要素はE(n)とある種の有限スペクトラムを用いて特徴づけられることに気づいた。このことを用いて得られた最終年度の結果として、E(n)-Adams スペクトル系列に関するある条件の下で、Pic_nとPic(n)の幾何学的考察が必要な部分は同型であることが示せた。これはp=3,n=2で知られていたことの一般化に当たる。これから、その条件の下では、Pic_nとPic(n)の違いは代数的な部分だけであることが分かる。さらに、その条件は常に成り立つのではないかと予想している。
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