多面体積のホモトピー型の研究

2015 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 26400094
• 研究機関: 大阪府立大学
• 研究代表者: 入江 幸右衛門 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40151691)
• 研究分担者: 岸本 大祐 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60402765)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: 多面体積 / Golod 性 / Massey 積

研究実績の概要

単体複体 K に対して古くより代数的に Golod 性が定義されている。これに対して2004年前後に、K が Golod である必要十分条件は K に対する moment-angle complex のコホモロジー環の Massey 積が消えていることであることが示された。これにより、トポロジーを用いて単体複体 K の Golod 性を研究することが可能となった。その方面の研究が始まった当初は、「K が Golod である必要十分条件は、K に対する moment-angle complex が懸垂空間の1点和にホモトピー同値であるか。」という疑問を解くことを中心に研究が進められてきた。そして、本研究もこの疑問を解決することを研究指針として研究を進めてきた。平成27年度の研究によってこの問題は否定的に解決された。実際、Golod 単体複体 K でそれに対する moment-angle complex が懸垂空間の1点和にホモトピー同値でないものを構成することが出来た（"A Golod complex with non-suspension moment-angle comoplex" arXiv:1601.03472）。従って、今後の研究は Golod 複体の moment-angle complex が懸垂空間の1点和にホモトピー同値であるような十分大きなクラスを見つけることに進む。我々の研究によってこのクラスは、dual sequentially Cohen-Macaulay 複体を含むことが分かっている

現在までの達成度 (区分)

1: 当初の計画以上に進展している

理由

当初は5年間で「K が Golod である必要十分条件は、K に対する moment-angle complex が懸垂空間の1点和にホモトピー同値であるか。」という疑問を解決することを目標に研究実施計画を立てた。しかし、平成27年度の研究によってこの問題は否定的に解決された。実際、Golod 単体複体 K でそれに対する moment-angle complex が懸垂空間の1点和にホモトピー同値でないものを構成することが出来た（"A Golod complex with non-suspension moment-angle comoplex" arXiv:1601.03472）。

今後の研究の推進方策

当初の目標が達成されたので今後の研究は、Golod 複体の moment-angle complex が懸垂空間の1点和にホモトピー同値であるような十分大きなクラスを見つけることに進む。平成26年度は、このようなクラスとして strong gcd-conditon を満たすクラスがあるのではないかと考えられていたが、平成27年度に strong gcd-condition を満たすが Golod でない単体複体が構成された。従って、この問題は振り出しに戻った感じがする。今後は単体複体に次元の条件や連結性などいろいろな条件を課した状況での、Golod 性と moment-angle complex の分解との関連性を調べ上記問題にアプローチしたい。

次年度使用額が生じた理由

シンガポールで開催された国際会議に出席して研究成果を発表する予定であったが、国際会議の開催期間と大学院入試の日程が重なったため、大学院入試業務の責任者として大学を離れることが出来ず参加できなかったため。

次年度使用額の使用計画

国際会議等で研究成果を発表するための旅費として使用する。