| 研究課題/領域番号 |
26400095
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
松本 幸夫 学習院大学, 理学部, 研究員 (20011637)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | ４次元多様体 / リーマン面 / タイヒミュラー空間 / モジュライ空間 / ドリーニュ・マンフォードコンパクト化 / オービフォールド / カーブ複体 / 結晶群 |
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| 研究実績の概要 |
４次元多様体のうち、リーマン面を底空間とし、他のリーマン面をファイバーとするファイバー空間の構造を持つものが研究の対象である。ただし、ファイバー構造には特異ファイバーの存在も許すことにする。特異ファイバーの存在を許すことによって、曲面の写像類群やリーマン面のモジュライ空間のコンパクト化などの他の数学分野との接点が生じる。当該年度の研究で最も力を注いだのは、リーマン面のモジュライ空間の「ドリーニュ・マンフォードコンパクト化」と呼ばれるコンパクト正規複素空間のもつ「自然なオービフォールド構造」の解明である。当該年度中に、この目標についてのほぼ決定的な結果を得ることに成功した。すなわち、ドリーニュ・マンフォードコンパクト化の上に、ハーベイによる「カーブ複体」を写像類群の作用で割った有限複体に属する単体によって添え字づけられたオービフォールド・チャートを構成することに成功したことである。各チャートは、有限次元複素有界領域とそれに働く「ワイル群」という離散群の組であり、ワイル群は複素有界領域に固有不連続に働く。それらの商空間によって「ドリーニュ・マンフォードコンパクト化」が被覆される。複素有界領域もそこに働くワイル群もカーブ複体に属する単体の言葉で具体的に書くことができる。
以上の構成の一つの帰結として、カーブ複体に属する最高次元単体にある種の「結晶群」が付随することを発見した。従来、リーマン面の研究と結晶群の研究は全く別の領域と考えられていたが、タイヒミュラー空間を写像類群で割ったモジュライ空間の「境界」上に、特別な結晶群が付随することがわかったので、二つの領域の相互関連を研究することは、将来、興味深い課題になると考えられる。特に、ドリーニュ・マンフォードコンパクト化と、対称空間の「佐武コンパクト化」の関連も研究課題に上ることになると思われる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
研究実績の概要欄でも述べたが、リーマン面のモジュライ空間の「ドリーニュ・マンフォードコンパクト化」の上に、ハーベイによる「カーブ複体」によって添え字づけられた「オービフォールド・チャート」を完全に具体的に構成することができたのは、研究開始時の予想を超えた成果である。以前の予期していたオービフォールド・チャートの
形は、非本質的な正の実数の有限系列に依存して決まるものであったが、最終的に得られた結果では、ただ一つの正の実数を固定することで、オービフォールド・チャートが決まる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の推進に関して２つの課題を考えている。一つは上述した「タイヒミュラー空間と結晶群」の関連に何する詳細な研究。もう一つは、ドリーニュ・マンフォードコンパクト化の上に存在する「普遍退化族」の研究である。後者の研究は本研究課題の当初から、その存在と性質をはっきりと予想していたが、底空間としての「ドリーニュ・マンフォードコンパクト化」の研究がまだ未成熟であったため、決定的な定理として結実させることができなかった。いまや「ドリーニュ・マンフォードコンパクト化」の位相構造が十分はっきりしたので、その上の「普遍退化族」の構成も十分日程的に可能になってきたと思われる。残りの１年間で、これらの課題について研究を進めて行きたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当該年度の１１月にスペイン・マドリードに出張したが、その出張旅費が３０万円を超え（その理由については既に理由書を提出した）、当該年度の科研費残額では支出できなくなったため、スペイン出張旅費以外の研究支出を当該年度科研費から支出することとし、
スペイン出張旅費については当該年度残額122,087円を翌年度の科研費と合算して、そこから清算することとした。そのため、見掛け上、当該年度科研費が122,087円余ることとなったが、実は、これは当該年度に清算するべきものの一部である。
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| 次年度使用額の使用計画 |
上述のように、残額122,087円の使途は既に予定されている。
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