| 研究課題/領域番号 |
26400099
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
茂手木 公彦 日本大学, 文理学部, 教授 (40219978)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | Dehn手術 / Seifert空間 / L-空間 / L-空間手術 / L-空間結び目 / twisting operation / seiferter |
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| 研究実績の概要 |
昨年度までの研究においてSeifert手術全体からなるネットワーク（Seifert Surgery Network）という概念を導入し、Seifert手術の発生のメカニズムを“伝播性(遺伝性)”という視点で記述してきたが、本年度はこのネットワークの視点をSeifert L-空間を生み出すDehn手術に応用する研究を進めた。L-空間は最も単純なHeegaard Floer ホモロジーをもつ有理ホモロジー3球面として定義され、Heegaard Floerホモロジーの視点からレンズ空間を一般化したものになっている。また、L-空間を生み出すDehn手術（L-空間手術）を許容する結び目はL-空間結び目と呼ばれ現在活発な研究がなされている。L-空間結び目の典型的な例はトーラス結び目、Berge結び目であり、いずれもSeifert手術を許容している。本研究ではL-空間結び目をねじって得られるL-空間結び目のツイスト族について調べた。一般に結び目を適当な方向にねじることによってL-空間結び目を得ることはほとんど不可能と思われるが、Seifert Surgery Networkにおいて重要な役割を担っている“seiferter”を用いて、結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目を含むための十分条件を与えることができた。この結果とこれまでのSeifert Surgery Networkで得られていた結果を組み合わせることにより、すべてのトーラス結び目、双曲Berge結び目Kに対し、Kをねじることによって無限個のL-空間結び目を含むツイスト族が得られることを示した。また、陶器氏との共同研究で非双曲Dehn手術、特にSeifert手術、をもたない双曲L-空間結び目の例を与えた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度までSeifert手術の大域的な理解に向けてSeifert Surgery Networkを研究してきたが、そこで鍵となっていたseiferterがL-空間手術、L-空間結び目の研究でも非常に有効であることが本研究を通して明らかになった。多くのseiferterに対して、そのseiferterに沿ったねじり操作がL-空間手術であるという性質を保っていることから、これまでに知られていたL-空間結び目たちの間の関係を（すべてではないが）記述することができた。また、本研究の目標の一つであったSeifert Surgery Network内でのSeifert L-空間手術の分布についてもほぼ解明することができた。また、Eudave-Munoz氏、Jasso氏、宮崎氏との共同研究で得られていたprimitive Seifert構成では得られないSeifert手術の新しい無限列の例を利用することによりトンネル数が１より大きい双曲L-空間結び目のツイスト族の構成に成功し、Baker-Mooreの問題を肯定的に解決することができた。
一方、本年度はL-空間手術、L-空間結び目の研究を中心に進めたため、Boyer-Gordon-WatsonによるL-空間と左不変順序を許容する基本群をもつ３次元多様体との間のL-空間予想に関する研究は手付かずの状態であった。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究で結び目のツイスト族が無限個のL-空間結び目を含むための十分条件を与え、そのような例を豊富に構成することができたので、今後の研究では、その漸近的な振る舞いを調べ、L-空間結び目の位相幾何学的な性質についての理解を深めていきたい。無限個のL-空間結び目からなる族を眺めることによって、L-空間結び目を個別に調べていても見いだせない性質を導きたいと考えている。また、ツイスト族が無限個のL-空間結び目を含むための必要条件も明らかにしたい。特に、Seifert手術をもたないL-空間結び目のツイスト族の存在、seiferterでない自明結び目に沿ったねじり操作によるL-空間結び目のツイスト族の存在について詳細に調べていきたい。ねじり操作以外の操作でL-空間結び目であるという性質を保つものとしてケーブリング操作とその一般化が知られてるが、これら以外の操作でL-空間結び目である性質を保つものについても調べていきたい。また、本年度の研究でL-空間結び目の例が豊富に見つかったので、これらの例を元にBoyer-Gordon-WatsonによるL-空間予想についての研究も進展させたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予算は概ね使い切ったが、基金化によって最後の１円まで使い終わる必要がなくなったため、若干の残りが生じてしまった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度の予算に残額分をプラスして有効に使用する。
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