| 研究課題/領域番号 |
26400100
|
|---|
| 研究機関 | 日本大学 |
|---|
研究代表者 |
市原 一裕 日本大学, 文理学部, 教授 (00388357)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
|
| キーワード | デーン手術 / 左不変順序付不可能手術 / ねじれトーラス結び目 / モンテシノス結び目 / 境界スロープ |
|---|
| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，3次元多様体内の結び目に関する矯飾的手術予想（Cosmetic Surgery Conjecture）の肯定的解決にむけて研究を行うことである。矯飾的手術予想とは「結び目に沿った異なるデーン手術によって（向きも込めて）同相な3次元多様体は生成されないだろう」というもので，結び目理論における有名な結目補空間予想の一般化として，非常に注目されている。より具体的な目標としては，3次元球面内の交代結び目に関して肯定的解決を得ることとする。当該年度の研究目標は，研究計画におけるステップ１に相当する，結び目不変量（アレキサンダー多項式など）の計算による予想の反例の候補の絞り込みであった。これに対して，関連する３次元多様体の不変量であるSL(2,C)-キャッソン不変量の計算に取り組み，ある種の二橋結び目の無限族について，各結び目に沿ったデーン手術で得られるホモロジー球面がすべて異なることを示すことができた。これについては現在，論文作成中である。
この研究は，従来まで応用されて来なかった不変量に新たな光をあてるものであり，意義深いものと考えられる。また取り扱った結び目の族は，矯飾的手術予想に関する先行研究において利用された不変量を適用できないもので，その意味で重要な研究対象であると考えられる。
一方で，研究計画のステップ２）とステップ３）に関連しても，二つの成果が得られた。ステップ２）に関しては，ある種のねじれトーラス結び目が非双曲的多様体を生成するデーン手術と関連がある左不変順序付不可能手術を許容しないことを証明した。またステップ３）に関しては，デーン手術で得られる多様体のヒーガード分解と関連する，結び目補空間の境界スロープについて，これまでに知られていない現象を発見した。これらの研究は当該研究に直接に関わるものではないが，関連する基礎研究として意義のあるものと考えている。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当該年度の目標は，研究計画におけるステップ１に相当する，結び目不変量の計算による予想の反例の候補の絞り込みであったが，これに対して，結び目不変量であるアレキサンダー多項式の計算，および，関連する３次元多様体の不変量であるSL(2,C)-キャッソン不変量の計算により，一定の成果が得られている。特にSL(2,C)-キャッソン不変量については，計画を超える効果があり重要な進展といえる。一方で，アレクサンダー多項式の計算については，大規模計算ができなかったなどの問題もあった。
|
| 今後の研究の推進方策 |
基本的には研究計画に沿って研究を推進していく予定である。ただし，最新の研究動向を踏まえ，海外からの研究者招聘については，一部予定を変更し，再検討をしたい。またコンピュータによる不変量の計算に向けて，研究集会「トポロジーとコンピュータ」の開催に関わるなど，より先進的な研究を取り入れることを考えている。例えば，ランダムな結び目の生成とその双曲性に関する研究などが候補としてあげられる。そのため，今年度に使用予定の旅費等を使用せず，次年度に使用する予定とした。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
最新の研究動向を踏まえて，研究計画にあった結び目の不変量であるアレクサンダー多項式のコンピュータによる計算を次年度に行うことに変更した。そのため，計上してあったデスクトップ型コンピュータの購入を見合わせた。また次年度に海外からの研究者招聘を含む研究集会の開催を計画しており，そのため，旅費の一部を次年度使用額とすることとした。さらに最新の研究動向をより正確に把握するため，専門雑誌の購入も行いたい。
|
| 次年度使用額の使用計画 |
変更した研究計画にあわせて，結び目不変量に関する計算を行うため，デスクトップ型コンピュータの購入を行う（Apple社製 iMac）。また海外からの研究者招聘を再検討し，あわせて，関連する研究集会を開催する。さらに専門雑誌を購入し，最新の研究動向の把握に努める。
|
