| 研究課題/領域番号 |
26400100
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
市原 一裕 日本大学, 文理学部, 教授 (00388357)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | デーン手術 / 矯飾的手術 / 交代結び目 / ランダム絡み目 / フォックス彩色 / 整数彩色 / 最小彩色数 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，3次元多様体内の結び目に関する矯飾的手術予想 (Cosmetic Surgery Conjecture) の肯定的解決にむけて研究を行うことである．矯飾的手術予想とは「結び目に沿った異なるデーン手術によって（向きも込めて）同相な3次元多様体は生成されないだろう」というもので，結び目理論における有名な結び目補空間予想の一般化として非常に注目されている．本研究のより具体的な目標としては，3次元球面内の交代結び目に関して肯定的解決を得ることである．当該年度の研究目標は，研究計画におけるステップ2)及び3)に相当する，双曲幾何からのアプローチ及びヒーガード分解からのアプローチによる矯飾的手術の研究であった．ステップ2)に関しては，正井秀俊氏との共同研究により，双曲的交代結び目に沿った双曲的でない多様体を生成するデーン手術（いわゆる例外的デーン手術）の完全分類を与えることができ，共著論文として発表した．これは交代結び目補空間の双曲構造の解析の研究として重要な位置付けを持つと考えている．一方で，研究計画のステップ3)に関連しては，３次元多様体のヒーガード分解に対応する結び目／絡み目の橋分解について研究を行い，ランダムに複雑性を増すような橋分解を持つ絡み目について，その最頻成分数と双曲性に関する結果を得ることができた．これらの結果はそれぞれ，吉田健一氏（日本大学），Jiming Ma 氏（復旦大学）との共著論文として，現在，投稿中である．またさらに関連する結果として，絡み目のフォックス彩色の最小彩色数の下限について，また，整数彩色の最小彩色数について，研究を行い，松土恵理氏（日本大学）との共著論文として発表した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究計画におけるステップ2)「双曲幾何からのアプローチ」及びステップ3)「ヒーガード分解からのアプローチ」について，着実に研究を進めることができている．双曲幾何からのアプローチについては，双曲結び目補空間の双曲構造についての研究成果として，交代結び目に沿ったいわゆる例外的デーン手術の研究を完成させることができた．またヒーガード分解からのアプローチについては，関連する結び目／絡み目の橋分解に着目し，ランダムに複雑性を増す橋分解を持つ絡み目について，その性質（最頻成分数や双曲性）について研究を進めることができた．これらの研究は，本研究課題の主題である矯飾的手術予想に直接，結びつくものではないが，関連する研究として重要な意味を持つと考えている．また一方で，SL(2,C) キャッソン不変量や３次元多様体の有限型不変量など，新たな不変量を用いた研究も進めている．これらの不変量の研究については，本研究に新たな視点を与えるだけでなく，多くの他の問題に応用も考えられることから，様々な研究者に興味を持ってもらうことができ，関連する研究集会において発表を行うことができた．特に３次元多様体の有限型不変量については，Zhongtao Wu 氏（香港中文大学）と共同研究を開始し，研究を進めている．なおこのような研究の進展に伴い，今後，研究計画には含めていなかった研究集会や国際研究集会（例えば，ウォーリック大学で開催予定の国際研究集会など）に参加し，新しい知見を得ることを計画している．
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| 今後の研究の推進方策 |
基本的には研究計画に沿って研究を推進していく予定である．申請最終年度にあたり，特に海外の研究集会に参加し，これまで得られた研究成果を発表するなど，研究の深化を目指す予定である．例えば，９月に英国，ウォーリック大学で開催予定の国際研究集会「Geometric topology in low dimensions」や，11月に韓国（釜山）で開催予定の国際研究集会「The 2nd Pan Pacific International Conference on Topology and Applications 」への参加を検討している．具体的な研究の推進については，３次元多様体のヒーガード分解について関連する研究を行っている斎藤敏夫氏（上越教育大学），３次元多様体の葉層構造を研究している中江康晴氏（秋田大学），絡み目のバンド手術を研究している鄭仁大氏（近畿大学）．また研究の新たな進展に伴い，Jiming Ma 氏（復旦大学）や Zhongtao Wu 氏（香港中文大学）との研究交流も，積極的に推進する予定である．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額が生じた理由としては，旅費において交通費／宿泊費の見込み額と実際にかかった経費に差額が発生したことが挙げられる．
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| 次年度使用額の使用計画 |
基本的には研究計画通りの執行を行う．実際には海外旅費などの経費において，多少の差額の発生が見込まれるため，その分の調整をしながら，適切な使用に努める．
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