| 研究課題/領域番号 |
26400101
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| 研究機関 | 立命館大学 |
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研究代表者 |
福本 善洋 立命館大学, 理工学部, 教授 (90341073)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | ゲージ理論 / ホモロジー同境群 / インスタントン / モジュライ空間 / 平坦接続 / レンズ空間 / 結び目 / 指標多様体 |
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| 研究実績の概要 |
1) 管状の端を持つ4次元多様体上のインスタントンと3次元多様体の Chern-Simons 不変量
Seifertホモロジー球面の円周束構造に付随する円板束を経由することで幾つかレンズ空間への負定値同境が得られる。レンズ空間の間の負定値同境においてレンズ空間L(m,1)が存在すれば必ずL(m,-1)が現れる現象を応用することにより、ホモロジー同境群における無限個の一次独立なSeifertホモロジー球面の族を構成した。この族は、Fintushel-Stern不変量を用いたこれまでの方法では得られないものであり、またManolescu不変量を用いて得られた一連の族にも含まれないものである。一方で、レンズ空間のペアを結ぶ可約平坦接続が存在することを示しており、両端の平坦接続とモジュライ空間の向きとの関係を解明することが今後の課題となる。また、バブル生成によって同境上に１次元ホモロジーの捩れ成分に対応する平坦接続が残る場合を考察する。
2) 3次元多様体の指標多様体とインスタントン・モジュライ空間の端の構造
P. KirkとJ. Pinzon-Caicedoとの共同研究において、トーラス結び目、プレッツェル結び目をコンウェイ球面で分解した外側における2-タングルのトレースレスSU(2)表現空間とその枕袋における像、および双二面体群表現の完全な記述とその枕袋における像を決定しており、これらの結果とKronheimer-Mrowkaによる結び目の可約特異インスタントンFloerホモロジーとの関係に関する報告を研究会にて行った。近年、Hedden-Herald-Kirkにより、枕袋上でLagrange交叉Floerホモロジーを計算する組み合わせ論的方法が開発されており、この手法によってタングルの改変操作によるトレースレスSU(2)表現空間の挙動を解析することが今後の課題となる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
レンズ空間の間の負定値同境に関する結果において、レンズ空間L(m,1)から一般のレンズ空間L(a,b)への拡張は完了しているが、より一般の球面空間型への拡張はできていない。その理由の一つとして、それらのADHM構成を遂行する課題の一方で、レンズ空間L(m,1)の結果をSeifertホモロジー球面の間の同境問題へ応用することが可能となり、ホモロジー同境群への応用の可能性が広がったことによる。また、モジュライ空間の向きの考察に関しては、境界における可約平坦接続との関連においてこれを遂行しているが、解析的、技術的な側面においてさらに議論を深める必要があることによる。一方、2-タングルのトレースレスSU(2)表現空間の解析においては、その計算機への実装、およびHedden-Herald-KIrkによるLagrange交叉Floerホモロジー理論の進展を研究に取り入れることに時間を要することによる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は以下の課題の研究を推進する。
1) ADHM構成による球面空間型のインスタントン・モジュライ空間の解析と負定値同境への応用、2) モジュライ空間の向きと境界の平坦接続との関係の解明、3) バブル生成後に同境上に１次元ホモロジーの捩れ成分に対応する平坦接続が残る場合の考察、4) 1)-3)のホモロジー同境群の解析への応用、5) トーラス結び目、プレッツェル結び目に付随する外側の2-タングルのトレースレスSU(2)表現空間の枕袋への像と自明な内側の2-タングルのLagrange交叉Floerホモロジーの計算、6) 2-タングルのトレースレスSU(2)表現空間に関する綾関係の考察。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度の進捗がやや遅延しているため、海外における研究活動を次年度に見送り、次年度の研究に向けた計算機周辺の環境整備を行うことによって、現時点で研究活動が国内において十分機能を果たすことができるように体制を見直した。また、国内において国際会議が行われ、情報収集、および海外の研究者との情報交換が可能であったことから、海外への渡航を行わなかったことによる。
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度使用額は、米国インディアナ大学を始めとする研究機関において、成果発表と研究打ち合わせを 14 泊 15 日 にわたり行うことにより、共同研究者と共に研究活動をより活発に行い、広く研究成果を発表するための、研究旅費および滞在費に当てられる計画である。
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