| 研究実績の概要 |
本研究では，1) 管状の端を持つ4次元多様体上のインスタントンと3次元多様体のChern-Simons不変量，2) 3次元多様体の指標多様体とインスタントン・モジュライ空間の端の構造の研究を支柱として，本年度は，計画当初の目標である 1-3) グラフ有理ホモロジー3球面上のインスタントンの解析，2-3) 零跡SU(2)表現空間の解析の一般の3次元多様体への拡張に向けた研究を行った．1-3)に向けては，最も簡単な，レンズ空間に関する結果とその応用を得た．一方，2-3)では，Hedden-Herald-Kirkの枕袋上のLagrange交叉理論と，Kronheimer-Mrowkaの特異インスタントン・ホモロジー理論との対応の理解が今後の課題となった．
1-3)に向け，レンズ空間の間のある種の負定値同境の境界に，レンズ空間L(a,b)であって，bを素数とし，aがbよりも十分大きな奇数で，ある最大性の条件を満たすならば，境界に必ずレンズ空間L(a,-b)も存在し，それらは，同境上の可約平坦接続を通じて対をなすことを証明した．本結果は，Seifert有理ホモロジー3球面の有理ホモロジー同境問題への応用があり，副産物として，3次元ホモロジー球面の整係数ホモロジー同境群における，Seifertホモロジー3球面からなる無限一次独立系を構成した．この系は無限個のパラメータを持ち，より一般の特異ファイバーで，その個数の異なるものや，Chern-Simons不変量が等しいものを無数に含むもので，既存の手法では得られていない系列である．さらに，レンズ空間を繋ぐ可約平坦接続を用いることで，より深い情報が得られると期待される．また，負定値同境には境界からの射入が誘導する1次元整係数ホモロジーの準同型の全射性が仮定されており，その緩和のため，インスタントンの貼り合わせの障害を考察することが課題である．
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