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今年度の研究では、GL型のアフィンヘッケ代数の変形を用いることにより、q-ボゾン系の拡張と見なされる確率過程を構成することができた。
GL型のアフィンヘッケ代数は、対称群の群環の 1パラメータ変形(ヘッケ代数)に、ローラン多項式環を添加したような非可換代数である。この代数にさらにパラメータを導入して変形させたものを本研究では扱っている。一方、q-ボゾン系は、笹本・和達により定義された 1次元格子上の連続時間マルコフ過程であり、可積分な確率過程と呼ばれる模型の一つである。
以前の研究において、q-ボゾン系の Q行列(推移率を成分とする行列)が、上記の変形した代数の表現論を使って構成できることを発見した。今年度の研究ではこの構成を拡張した。ヒントとしたのは Emsiz-Opdam-Stokman による 1次元デルタボーズガスの拡張である。1次元デルタボーズガスは古くから知られている量子可積分系で、そのハミルトニアンは退化アフィンヘッケ代数の表現論を使って構成できることが知られている。Emsiz らはこの結果を拡張し、対称群の表現に値を取るような波動関数に作用する可解なハミルトニアンを構成した。この構成を我々の変形した非可換代数に対して行うと、ヘッケ代数の表現に値を取る関数に作用する差分作用素(離散的なハミルトニアン)が得られる。この差分作用素について、変形パラメータを特殊化し、ヘッケ代数の表現空間としてある特定のものを取ると、表現空間の基底を 1次元格子上の粒子の配置と適当に同一視することにより、確率過程の Q行列が得られる。このようにして得られた確率過程は、1次元格子の上を多種の粒子が動く連続時間マルコフ過程であり、粒子が 1種類しかない場合を考えると、笹本・和達の q-ボゾン系が復元される。よって、q-ボゾン系の多種粒子版と見なせる拡張が得られたことになる。
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