| 研究課題/領域番号 |
26400107
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| 研究機関 | 千葉大学 |
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研究代表者 |
野邊 厚 千葉大学, 教育学部, 准教授 (80397728)
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| 研究分担者 |
間田 潤 日本大学, 生産工学部, 准教授 (80396853)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 離散戸田格子 / アフィンLie代数 / 超離散化 |
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| 研究実績の概要 |
A(2)2N型，C(1)N型，D(2)N型Lie代数に対応する一般化戸田格子は，それぞれA(1)2N-1型，A(1)2N型，A(1)2N+1型Lie代数に対応する一般化戸田格子の部分力学系として実現できることを示した．A(1)M型戸田格子はシステムサイズM+1の戸田格子に周期的境界条件を課したもの（周期戸田格子）に他ならないので，これらの一般化戸田格子が周期戸田格子の部分力学系として実現できることを示したことになる．また，このような性質は離散化の際にも保持され，A(2)2N型，C(1)N型，D(2)N型Lie代数に対応する離散一般化戸田格子が，同様に，それぞれA(1)2N-1型，A(1)2N型，A(1)2N+1型Lie代数に対応する離散一般化戸田格子（周期離散戸田格子）の部分力学系として実現できる．とくにtwistedなアフィンLie代数（A(2)2N型，D(2)N型）に対応する離散戸田格子に対してこのような報告はこれまでになされていないようである．これらの離散一般化戸田格子が周期離散戸田格子の部分力学系となるための条件は，系の従属変数に対するsubtraction-freeな有理式で与えられる．同様に，周期離散戸田格子の時間発展そのものも従属変数のsubtraction-freeな有理式で与えられるため，これらの離散一般化戸田格子に対して超離散化の手法を適用することが可能である．離散一般化戸田格子に超離散化を適用し，A(2)2N型，C(1)N型，D(2)N型Lie代数に対応する超離散一般化戸田格子を得た．周期離散戸田格子の超離散化としては周期箱玉系がよく知られており，トロピカルJacobi多様体上での線形化．互いに素条件を用いた可積分性の判定などについて調べられている．本研究で得られた超離散一般化戸田格子は周期箱玉系と同様の振る舞いを示す力学系であり，その解の挙動の詳細な解析は今後の課題である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の研究計画においては，C(1)N型Lie代数に対応する離散一般化戸田格子の超離散化を行い，そのスペクトル曲線のJacobi多様体上で時間発展を線形化し，その性質を調べる予定であった．しかし，他のLie代数（A(2)2N型，D(2)N型）に対応する一般化戸田格子についてそれらのLax形式等を調べてみると，C(1)N型と同様に周期戸田格子の部分力学系として実現可能であろうと予想できた．さらに，このような性質は離散化・超離散化においても保持されることが期待されたため，これらの一般化戸田格子をまとめて解析した方が効率よく研究できると考えるに至った．そこで，研究計画を若干修正し，平成26年度はA(2)2N型，C(1)N型，D(2)N型Lie代数に対応する一般化戸田格子の周期戸田格子の部分力学系としての実現可能性およびそれらの離散化・超離散化について詳しく調べた．得られた結果は上記予想の通りであった．したがって，研究の方向性として多少異なるが，現在までの研究計画の達成度に関しては，おおむね順調であると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
平成27年度以降は，当初の研究計画にしたがって，A(2)2N型，C(1)N型，D(2)N型Lie代数に対応する離散一般化戸田格子から得られる超離散一般化戸田格子について詳しく研究する予定である．これらの力学系はA(1)2N-1型，A(1)2N型，A(1)2N+1型の超離散戸田格子の部分力学系として実現できるため，一般の自然数Mに対するA(1)M型超離散戸田格子のスペクトル曲線を用いた線形化などについて調べていくことになる．この力学系は，離散２次元戸田格子のあるリダクションに対して超離散化を適用しても導出可能である．一方，離散２次元戸田格子に対して別のリダクションを行って得られる離散戸田格子に超離散化を適用すると，周期箱玉系とよばれる力学系が得られる．A(1)M型超離散戸田格子と周期箱玉系は同様の振る舞いを示すことが数値実験により観察されるが，時間発展を与える差分方程式やスペクトル曲線が相異なるため，本質的に異なる力学系と考えられる．これらの力学系の差異について，互いに素条件などを用いて解析する．互いに素条件とは，M Kanki, J Mada and T Tokihiro, ``Integrability criterion in terms of coprime property for the discrete Toda equation", J Math Phys 56 (2015)などで導入された可積分性の判定条件であり，周期箱玉系に対応する離散戸田格子についてはその性質を持つことが上記論文で示されている．A(1)M型離散戸田格子についても互いに素条件を確認し，両者の差異について考察する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初計画では，高性能の計算機を購入し，C(1)N型Lie代数に対応する超離散一般化戸田格子に対して，そのスペクトル曲線であるトロピカル超楕円曲線のJacobi多様体における線形化の計算を始める予定であった．しかし，他のLie代数に対応する一般化戸田格子に対してもC(1)N型と同様の解析を試みたところ，当初研究計画では想定していなかったいくつかの結果が得られた．そのため，これら複数の一般化戸田格子に対する考察に時間を使い，超離散一般化戸田格子に対する線形化の計算を始めるに至らなかった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
当初計画で平成26年度に実施予定であったトロピカル代数曲線のJacobi多様体における線形化の計算を平成27年度に行う．その際，A(2)2N型，D(2)N型のLie代数に対応する一般化戸田格子も同時に扱うために，それらすべてを部分力学系として含む，A(1)M型戸田格子を考察の対象とする．A(1)M型戸田格子に関する様々な計算を効率よく行うため，高性能の計算機を購入し，数式処理ソフトウェアを導入する．
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