| 研究課題/領域番号 |
26400109
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
時弘 哲治 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (10163966)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 離散可積分系 / 準可積分系 / Laurent性 / Hietarinta-Viallet方程式 / 特異点閉じ込め / 代数的エントロピー |
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| 研究実績の概要 |
可積分力学系とカオス力学系の双方の性質を兼ね備えた系（準可積分系）の代数的エントロピーやco-primenessについて研究した．準可積分系とは，特異点閉じ込めてストを通過するが，代数的エントロピーが正となる系である．1998年に発見された2次元の有理写像であるHietarinta-Viallet方程式が最初の，また，もっとも有名な例である．今年度はHietarinta-Viallet方程式とその1パラメータ拡張に対して代数的エントロピーを厳密に求めた．特に，パラメータが正の偶数の場合には準可積分系となること，奇数の場合にはそうではないことを示した．その際，準可積分系では，可積分力学系における双線形形式およびτ関数に対応する多項式関係式とτ関数に類似の関数が存在することがわかった．また，このτ関数の類似関数ではLaurent性が成立することを証明した．
Hietarinta-VIallet方程式およびその拡張は，2次元の写像力学系（3項間漸化式）であり，これまで，高次の準可積分系は求められていなかった．本年度の研究では，離散KdV方程式を変形した２次元格子系を定義し，この格子系が特異点閉じ込めの代数的表現であるco-primeness性をもつこと，そして，その簡約が準可積分系の階層構造を与えることを示した．Hietarinta-Viallet方程式は，この階層構造の中の非自明なもののうちでもっとも単純な4項間漸化式において，パラメータを特殊化したものであることを示した．各準可積分系は，多項式関係式を持ち，また，Laurent性を持つことも証明された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
最も重要な発展は，準可積分系の定義および2次元格子系の発見，である．戦略として，(1)特異点閉じ込めの概念を高次元系にも使えるように定式化すること，(2) その定式化が典型的なソリトン方程式系に対して適用できることを確認すること，(3) Hietarinta-VIallet 方程式（HV eq.)およびその拡張に対して適用し，準可積分系の性質を抽出すること，(4) この定式化に基づき，新たに高次元の準可積分系を発見すること，を考えていたが，これらをすべて実現できた．すなわち，(1) co-primeness として定式化し，(2) KdV方程式，戸田方程式が境界条件によらず co-primeness を持つことを示し，(3) HV eq. およびその拡張がco-primenessを持ち，また，多項式表現とLaurent性を持つことを証明し，(4) co-primenessをもつ変形KdV方程式が，HV eq. を最低次に持つ準可積分系の階層を持つことを証明した．これらの結果は順次論文として発表しており，今後もいっそうの発展が期待される．
また，有限体上の離散可積分系の研究では，離散戸田方程式のグラフ構造に関して，現在投稿中の論文で，標数が小さい場合の双方向性（グラフとして無向グラフで表現されること）の証明を示すなど着実な発展がある．
以上の理由により当初の計画以上に進展していると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
まずは準可積分系に関してより深く研究を進める．本年度得られた準可積分系方程式は変形離散KdV方程式であり，これは空間1次元時間1次元の方程式と考えられる．可積分系との類推を考えるならば，当然より高い次元のKP方程式系に対応する準可積分方程式が存在すると考えられる．この高次元系を発見することが次の目標となる．また，準可積分系の数学的構造は全く未知のものであり，その幾何学的構造と代数的構造を解明すること，また，Laurent性以外の解析的な性質について詳しく調べなければならない．可積分系からの類推により，τ関数に対応する準τ関数の表現，双線形関係式に対応する多項式関係式がPlucker関係式のような意味を持つか，また，初期値空間の高次構造に当たる幾何学的構造は何かも調べなければならない．その他にも，この準可積分系の連続極限に当たる偏微分方程式の性質，逆に超離散化を行うことによって得られるセルオートマトン系（箱玉系の拡張）の性質を調べるなど，非常に多くの課題が山積している．こうした課題を，研究協力者とも共同で少しずつ解決してゆきたいと考えている．
また，有限体上の離散戸田方程式のグラフ構造についても，双方向性などの興味深い性質が明らかになってきている．この問題についても，標数11以上の系，あるいは系のサイズが4以上のものに関して，適切な数値シミュレーションを行いながら結果を出してゆきたいと思っている．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初使用予定であった，Tsinghua Sanya International Mathematics Forum での可積分系研究会が，先方の都合で次年度早々の4月9日--16日に変更になったため，その予算を次年度に回すことになった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
すでに，Tsinghua Sanya International Mathematics Forum での可積分系研究会に参加し旅費を使用した．ただし，先方が滞在費を支給してくれたため，当初の予定よりも経費は少なかった．それは，今後の国内あるいは国外の研究集会への旅費に使用する予定である．
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