| 研究課題/領域番号 |
26400115
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
稲生 啓行 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 講師 (00362434)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 複素力学系 / 反正則力学系 / 自己相似性 / 没入型仮想現実システム |
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| 研究実績の概要 |
Mukherjee氏(Stony Brook大)と共同で、臨界点を1つだけ持つ反正則多項式族の連結性集合(multicorn)の自己相似性について引き続き研究した。Mandelbrot集合の自己相似性を与える写像の一般化(straightening map)が、multicornの場合に不連続になる新たな理由として、正則不動点指数とEcalle heightの、双曲成分の境界における不整合によって不連続性が導かれることを示した。更に実際にこのような不整合がパラメータが周期3の場合に起きていることを示した。
またmulticornの奇数周期の双曲成分の境界に装飾を持たない部分弧を持つか、という問題については、多倍長計算を用いて高い周期でも観察したところ、やはり実軸上にはいくらでも高い周期のものが持ちそうだという感触を得ており、周期が高くなるとくりこみのmodulusがいくらでも大きくなることを用いて証明すべく研究を続けている。
複素2次元のフラクタル集合の可視化については、没入型仮想現実システムである、Oculus Rift 開発キット2(DK2)や、一昨年度末本研究科に導入された高次元数学研究可視化システム(CAVE)を用いて、様々な対象を観察できるよう、ソフトウェアの開発を行った。複素2次元(または実4次元)の中の点集合や、実3次元の対象の為に3Dプリンタなどでよく用いられるフォーマットであるSTLファイルなどを読み込んで表示したり、Lorenz attractorなどの微分方程式を解いて表示する機能などを実装した。これらの仮想現実システムは3次元の対象の可視化においてすら新しいものであり、元々の我々の興味である4次元だけでなく、一般の3次元の数学的な対象なども可視化して体験できるようにすることで広く普及させる必要があると考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
反正則力学系の研究においては、multicornの自己相似性を否定する為の指標として、Ecalle heightと正則不動点指数の関係という、よく知られている指標を1つのパラメータについてさえ調べればよい、という予想外に単純な方法に帰着することができた。Ecalle heightは計算するのは難しいが、例えば実軸上では0になることは自明であり、また正則不動点指数は代数的である為、代数的な手法で計算・解析することが可能である。従って少なくとも実軸上の小multicorn的集合については、この方法で一般にstraightening mapがある弧のほとんどの点で不連続になることを示すことができると考えている。
また可視化については、九州大学の石井豊氏も複素2次元の力学系のJulia集合の可視化などに取り組んでおり、北海道大学の荒井迅氏、3Dアニメーションの専門家であるOLM Digitalの安生健一氏と共同のプロジェクトが動き出しており、今後様々なアイディアが生まれてくることが期待できる。没入型仮想現実を実現する為の機器もついに正式版が、しかも複数の企業から発売されてきており、このような社会的な変化も追い風となることが期待される。今後普及するにつれて、少なくとも3次元の為の環境は整っていく筈であり、それによって4次元(複素2次元)の可視化の為のアイディアも色々得られるのではないかと期待している。現在興味を持っているユーザは主にゲーム目的であると思われるが、一方で教育・研究その他様々な分野でこのような(3次元の)可視化の需要は潜在的なものも含めて非常に大きい筈であり、今後どこかの段階で爆発的な変化が訪れるのではないかと期待している。
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| 今後の研究の推進方策 |
multicornの実軸上の小tricorn的集合について、実軸と交わる一番大きいパラメータでの正則不動点指数が1/2でないことが示せれば上に述べたstraightening mapの不連続性が示せる為、これを代数的手法を用いて証明する。このことは、例えば3つの2変数多項式で定義された代数的集合が空集合であることを示せば十分であり、そのような代数的に取り扱いやすい十分条件を見つけてそれを示す。可能ならば一般のmulticornにも応用する。
また同じく実軸上の奇数周期の双曲成分(小multicorn的集合の中心の成分)について、境界が装飾を持たない部分弧を含むことを示したい。これは当初は周期を上げていくと元の全体の族に広義一様収束することを用いて評価しようと考えていたが、くりこみのmodulusが大きい、ということだけからハイブリッド共役がアファインに近いということが得られる為、それを用いれば当初考えていたより容易に評価できるのではないかと考えており、それで相空間において、くりこみの小ジュリア集合についている装飾のある範囲を特定し、そのことからパラメータ空間の装飾についても同じように評価する。
可視化については、石井豊氏らと共同でアイディアを出し合いつつ開発を進める。まずOculus Riftは製品版が出たものの、Macへの対応を中止してしまったため、Windowsに以降して最新のSDKに対応する必要がある。また宇敷重廣氏が今まで精力的に複素2次元の力学系の可視化に取り組んできている為、それらの手法・データを取り込んで、できれば公開し広く利用でき、オンラインなどで議論ができるようにすることで、4次元(複素2次元)の可視化に興味のある専門家への普及を図りたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2016年4月にオランダのLorenz Centerで開かれる国際研究集会に出席する為。
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| 次年度使用額の使用計画 |
2016年4月にオランダのLorenz Centerで開かれる国際研究集会に出席する旅費の一部に使用する。
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