| 研究課題/領域番号 |
26400122
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| 研究機関 | 中央大学 |
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研究代表者 |
竹村 剛一 中央大学, 理工学部, 准教授 (10326069)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 直交多項式 / ヤコビ多項式 / 超離散 / パンルヴェ方程式 / マヤ図形 / multi-indexed polynomial |
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| 研究実績の概要 |
2014年度は多添字ヤコビ多項式などについて研究成果を得ることができた。
ヤコビ多項式は直交多項式の典型的な例であり、超幾何型微分方程式を満たすことや三項間漸化式を満たすことなど著しい数学的な性質をもつ。他方、量子物理の模型にも固有関数として現れる。佐々木隆らは、いわゆるダルブー変換の考えかたを用いてヤコビ多項式に付随する模型などから新たな可積分な模型を系統的に導出したが、この過程において多添字ヤコビ多項式などの新しい直交多項式系を見出し、その性質を研究してきた。報告者は佐々木の研究に触発され、共同研究などを通じて多添字ヤコビ多項式とホインの微分方程式の関係を調べてきたが、研究の途上に添字が違っても本質的に同じ多項式が現れることを見出してきた。この現象を組織的に研究し、２組のマヤ図形を用いて多添字ヤコビ多項式の等式を記述することに成功した。
ところで、パンルヴェ方程式は２階の非線形常微分方程式であって第一方程式から第六方程式まであるが、解として現れる動く（時間変数に依存する）特異点は極のみに限るという著しい性質をもっているものである。パンルヴェ方程式は、q-差分などの差分方程式（離散パンルヴェ方程式）への拡張が知られており、これらも豊かな対称性をもっている。また、離散パンルヴェ方程式から超離散極限により超離散パンルヴェ方程式を得ることができる。
超離散パンルヴェ方程式において、2014年度は第二方程式について超離散エアリー関数と絡めた研究が進行したが、この内容については2015年度の研究にもまたがる予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
多添字ヤコビ多項式において、マヤ図形と絡めた新しい方向の研究が進んだため。
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| 今後の研究の推進方策 |
ソリトン理論では行列式を用いた多重ソリトン解の研究がなされてきたが、今年度はソリトン理論に関連する形で超離散第二パンルヴェ方程式などについて、超離散エアリー方程式などの超幾何型の方程式にも注目しながら研究をすすめる。
可積分系に関係する微分方程式についても並行して研究を行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
物品費が当初予定より少なく済んだため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
物品費および旅費として使用予定。
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