| 研究実績の概要 |
特殊関数は、初等関数に続く重要な関数たちの総称であり、超幾何関数や楕円関数はその典型例である。パンルヴェ方程式はいくつかの物理の模型に現れる特殊関数であるが、数学的にも対称性の観点などから豊富な構造をもつ対象となっている。
今年度、報告者はq-差分化されたパンルヴェ方程式やこれを超離散化した方程式の解について、より詳しくはq-離散パンルヴェ第二方程式と符号付き超離散パンルヴェ第二方程式について、中央大学大学院生の五十嵐光氏と法政大学の礒島伸氏との共同研究において結果を得ることができた。
q-離散パンルヴェ第二方程式の特殊解について、Hamamoto, Kajiwara, Witteによる行列式型の特殊解が知られている。この行列式解において各成分がq-エアリー方程式の解となっているのであるが、先行研究で礒島らはq-エアリー方程式の解がq-Ai関数やq-Bi関数の場合に、対応するq-離散パンルヴェ第二方程式の解における超離散化の計算を行い、符号付き超離散パンルヴェ第二方程式の特殊解の具体形を計算した。
本研究において、q-エアリー方程式の解としてq-Ai関数とq-Bi関数の線形結合をとってきた場合を考察した。この場合において対応するq-離散パンルヴェ第二方程式の解における超離散化の計算を行い、符号付き超離散パンルヴェ第二方程式の特殊解の具体形を得ることができた。その結果、解の途中に波形をもつものが組織的に現れることがわかり、先行研究と比べて解の豊富な構造を見出すことに成功した。
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