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2017 年度 実施状況報告書

D加群のアルゴリズムとその応用

研究課題

研究課題/領域番号 26400123
研究機関東京女子大学

研究代表者

大阿久 俊則  東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (60152039)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2019-03-31
キーワードD加群 / ファインマン積分 / ホロノミック系 / アルゴリズム / 数式処理
研究実績の概要

素粒子の衝突や生成消滅などの相互作用を記述するファインマン図式に付随して、ファインマン積分と呼ばれる積分が定義される。これはファインマン図式の外線に対応する(4次元)運動量の関数であるが、一般にその具体的な計算は困難である。ファインマン積分の被積分関数は外線と内線に対応する運動量に関する有理関数であるが、一般には発散するため、その意味づけには繰り込みと呼ばれる技法が一般に用いられる。しかし、被積分関数の有理関数をデルタ関数に置き換えて定義される積分(Cutkosky型の相空間積分と呼ばれる)は、ファインマン図形が向きづけされたサイクルを含まないとう条件の下では、超関数として意味を持つ。これらの積分の被積分関数はホロノミック系と呼ばれる強い線形偏微分方程式系を満たすため、積分もホノミック系の解となる。このことは既に1970年代に佐藤幹夫、河合隆裕、柏原正樹、H.P. Stapp らによって示されていたが、具体的にホロノミック系を求めることは困難であった。
そこで、本研究代表者によって開発されたD加群の積分の計算アルゴズムを用いてファインマン積分の満たすホロノミック系を計算することを試みた。しかし4次元時空では計算量が過大であるため、時空2次元の場合に比較的簡単なファインマン図式、特に3角形図式に付随するファインマン積分および Cutkosky型積分の満たすホロノミック系を実際に計算することに成功した。さらにこのホロノミック系の特性多様体とその重複度を求めることもできた。これは河合と本多尚文によるLandau-中西多様体についての結果とも符合し、ファインマン積分の満たすホロノミック系の特異点集合がWhitneyの傘と呼ばれる特異点と類似の性質を持つことが確認された。その際、局所b関数の計算アルゴリズムが有効に用いられた。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

研究計画調書に記載した4つ研究目的のうち4つはほぼ達成できた。また当初の研究計画では想定していなかったファインマン積分の満たすホロノミック系の計算を簡単なファインマン図式に対して実行することができた。

今後の研究の推進方策

2018年度は本研究課題の最終年度であるため、今までに得られた研究成果を整理して再検討を加える。特に、多項式の複素冪やファインマン積分の満たすホロノミック系の計算アルゴリズムを種々の具体例に適用してその有効性を検証しながら、アルゴリズムのさらなる効率化をめざす。また、本研究課題で得られた研究成果をまとめて論文等として発表するとともに、研究代表者のホームページにおいて公表する。さらにはD加群のアルゴリズムの新たな応用分野を開拓することも目標とする。

次年度使用額が生じた理由

購入を検討していた書籍の国内在庫がなく年度内に納品することが困難だったため。

  • 研究成果

    (5件)

すべて 2018 2017 その他

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件、 オープンアクセス 4件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] An algorithmic study on the integration of holonomic hyperfunctions --oscillatory integrals and a phase space integral associated with a Feynman diagram2018

    • 著者名/発表者名
      Toshinori Oaku
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: 印刷中 ページ: 1-14

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Algorithms for D-modules, integration, and generalized functions with applications to statistics2018

    • 著者名/発表者名
      Toshinori Oaku
    • 雑誌名

      Advanced Studies in Pure Mathematics

      巻: 77 ページ: 253-352

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Localization, local cohomology, and the b-function of a D-module with respect to a polynomial2018

    • 著者名/発表者名
      Toshinori Oaku
    • 雑誌名

      Advanced Studies in Pure Mathematics

      巻: 77 ページ: 353-398

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Operational calculus for holonomic distributions in the framework of D-module theory2017

    • 著者名/発表者名
      Toshinori Oaku
    • 雑誌名

      RIMS Kokyuroku Bessatsu

      巻: B61 ページ: 123-140

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [備考] Toshinori Oaku's home page

    • URL

      http://lab.twcu.ac.jp/oaku/

URL: 

公開日: 2018-12-17  

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