Ｄ加群のアルゴリズムとその応用

2018 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 26400123
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 解析学基礎
• 研究機関: 東京女子大学
• 研究代表者: 大阿久 俊則 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (60152039)
• 研究期間 (年度): 2014-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: D加群 / アルゴリズム / ホロノミック関数 / 超関数 / 積分 / グレブナー基底 / 確率密度関数 / ファインマン積分

研究成果の概要

D加群とは線型（常または偏）微分方程式系を代数的に捉えた概念である。D加群のうちホロノミック系と呼ばれるクラスは線型常微分方程式（系）の一般化であり，解の全体が有限次元であるという性質がある。ホロノミック系を満たす関数，すなわちホロノミック関数の性質はD加群の考察から解明できると期待される。そこで，ホロノミック関数の多項式不等式で定義された領域上の積分の満たすホロノミック系を計算するアルゴリズムを構成し結果がホロノミックになることを示した。応用として統計学に現れる種々の分布の確率密度関数や，３角形図式に対応する時空2次元のファインマン積分などの満たすホロノミック系を計算した。

自由記述の分野

代数解析学

研究成果の学術的意義や社会的意義

D加群理論は線型微分方程式の一般化であり，数学のみならず理論物理学でも重要な理論であるが、極めて抽象的な理論であるため、実際の計算は従来は極めて困難であった。コンピュータで実行できるアルゴリズムを構成することにより応用範囲を著しく拡張することができた。たとえば統計学における種々の分布の確率密度関数が満たす微分方程式が機械的に計算できる。これによって種々の確率分布の数値計算が効率的に行えるようになることが期待される。またファインマン積分など素粒子物理学への応用も見込まれる。