| 研究課題/領域番号 |
26400126
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| 研究機関 | 近畿大学 |
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研究代表者 |
青木 貴史 近畿大学, 理工学部, 教授 (80159285)
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| 研究分担者 |
中村 弥生 近畿大学, 理工学部, 准教授 (60388494)
鈴木 貴雄 近畿大学, 理工学部, 講師 (60527208)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 超幾何微分方程式 / 超幾何関数 / WKB解 / Voros係数 / Borel和 / Stokes曲線 / 漸近展開 / Stokes現象 |
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| 研究実績の概要 |
本年度の目標であった超幾何微分方程式のパラメトリックStokes現象を大きなパラメータの入れ方を一般の1次式にした場合に研究する、ということに関して、超幾何固有のパラメータに条件を付けた上である程度の結果を得ることができた。具体的にはこの場合に関して原点のVoros係数を定義し、それを特徴付ける差分方程式系を導出した。Voros係数の定義は従来得ていた定義から一歩進んで発散部分の除去を行う必要があると判明した。導出された差分方程式の解としてVoros係数の級数表示を求めることに関しては、ほぼ目処が立っているが、未だ完成には至っていない。これらの結果は条件付きではあるが、幾つかある場合分けの一つに関して結果を得たのであり、他の場合に関しての研究については、ある程度の方針が立っているものの、具体的な解析はこれからの課題である。これと並行して古典的な超幾何関数とWKB解のBorel和として得られる解析的な解の比較を行った。これに関しても大きなパラメータの入れ方および超幾何固有のパラメータに条件を課した上で結果を得ることができた。すなわち、超幾何関数と特異点において劣勢なWKB解のBorel和が冪関数と定数倍で結ばれることが判明し、その定数を決定することに成功した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成26年度の目標として設定した課題については、予想以上に計算が膨大で時間を取り当初の想定よりやや遅れていると思われる。その理由は結果を得るためにパラメータに条件を付けていること、および原点（確定特異点）のみに関する議論に限定したところにある。当初の予定としては非退化な場合をすべて尽くし、また1と無限遠点（ともに確定特異点）についても議論することが目標であったが、原点に関してのみ、かつパラメータの領域を非退化部分を幾つかの領域に分け、その一部を議論したのが平成26年度の主要結果である。しかしながら、あとの領域は超幾何関数のパラメータの変換に対する対称性から原理的には得られるはずであり、実質的にはかなり進んだと考えている。さらに平成27年度の計画として当初記載した内容にも一部踏み込むことができた。この点と併せて考えるとおおむね順調に進展していると判断される。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き大きなパラメータを一般の1次式の形で超幾何固有のパラメータに導入した方程式のVoros係数の計算、およびパラメトリックStokes現象の解析を続け、パラメータに関するgenericな条件下でStokes現象を記述する公式を導出する。すなわち、非退化なパラメータの領域の連結成分のうち、平成26年度に取り扱えなかった部分を考察する。原点以外の確定特異点においても同様の議論を行う。これには超幾何関数のパラメータについての対称性が鍵となると予想される。併せて古典的超幾何関数、合流型超幾何関数に同様に大きなパラメータを導入したものと、上記方程式のWKB解のBorel和の関係を解析する。
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