• 研究課題をさがす
  • 研究者をさがす
  • KAKENの使い方
  1. 課題ページに戻る

2015 年度 実施状況報告書

可積分離散非線型シュレーディンガー方程式の漸近解析

研究課題

研究課題/領域番号 26400127
研究機関関西学院大学

研究代表者

山根 英司  関西学院大学, 理工学部, 教授 (80286145)

研究期間 (年度) 2014-04-01 – 2019-03-31
キーワード離散非線形シュレーディンガー方程式 / ソリトン / 漸近展開 / 非線形鞍点法 / リーマン・ヒルベルト問題
研究実績の概要

可積分な離散非線形シュレーディンガー方程式のうちfocusingなもの,すなわち非線形項の符号がプラスのものについて考察した.まず無反射な場合については多重ソリトン解が先行研究によって知られている. われわれは反射がある場合(反射係数が恒等的には0でない場合)について,時間無限大における解の漸近挙動を調べた. 解は1-ソリトンの和プラス小さい摂動となる.これらの1-ソリトンについては無反射な場合においても phase shift (位相のずれ)が生じるが,反射のある場合にももちろん phase shift が生じる. ただし,|n|が2t 以上のところでは無反射の場合と同じだけのphase shift が生じるが,|n|が2tより小さいところではphase shift の公式は無反射の場合とは異なるものになり,反射係数の影響が現れる. 証明にはリーマン・ヒルベルト問題と Deift-Zhou の非線形鞍点法を用いる. リーマン・ヒルベルト問題の未知関数が極を持つので,オリジナルな非線形鞍点法に加えて新たな技巧が必要となる.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

予想通りに解の漸近展開の主要項は1-ソリトンの和であることが証明できた.特に,|n|<2t の領域と|n|>=2t の領域とでphase shift の公式が異なることが分かった.前者のみ反射係数の影響が現れ,後者には現れないことが興味深い.後者においては無反射の場合に関する Ablowitz らの既知の結果を recover する.無反射の場合においてすら従来の「証明」は形式的なものに過ぎず,Riemann-Hilbert 問題による厳密な証明は本研究で初めて出来たものである.それだけでも本研究は価値がある.

今後の研究の推進方策

現状では,「もし散乱データがこうだったら」という議論をしており,そういう散乱データをもつポテンシャルが本当にあるのか,あるとしてたくさんあるのかを議論していない.自然な仮定だというのが研究者たちの共通認識だとは思うが,自然さをきちんと定式化し,証明した結果はまだない.その部分の研究を仕上げて説得力を増したい.すなわち,ダルブー変換をうまく定式化して,自由に極を増やしたり減らしたり(ソリトンを増やしたり減らしたり)できることを示したい.

次年度使用額が生じた理由

残額が約24000円で中途半端な額だったので,次年度に回した.

次年度使用額の使用計画

旅費または図書購入費として利用する.

  • 研究成果

    (10件)

すべて 2016 2015 その他

すべて 雑誌論文 (2件) (うち査読あり 2件、 オープンアクセス 1件、 謝辞記載あり 2件) 学会発表 (7件) (うち国際学会 4件、 招待講演 6件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Long-time asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schr\"odinger equation II,2015

    • 著者名/発表者名
      Hideshi YAMANE
    • 雑誌名

      SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications)

      巻: 11 ページ: 1-17

    • 査読あり / オープンアクセス / 謝辞記載あり
  • [雑誌論文] 可積分離散非線型シュレーディンガー方程式の漸近解析2015

    • 著者名/発表者名
      山根英司
    • 雑誌名

      九大応用力学研究所 研究集会報告

      巻: 26-AO-S2 ページ: 60-65

    • 査読あり / 謝辞記載あり
  • [学会発表] Long-time asymptotics for the integrable discrete nonlinear Schrodinger equation2016

    • 著者名/発表者名
      Hideshi YAMANE
    • 学会等名
      学術報告
    • 発表場所
      復旦大学, 上海 (中国)
    • 年月日
      2016-03-21
    • 招待講演
  • [学会発表] Long-time asymptotics for the integrable discrete nonlinear Schrodinger equation2016

    • 著者名/発表者名
      山根英司
    • 学会等名
      偏微分方程式の諸問題
    • 発表場所
      日本大学 (東京都千代田区)
    • 年月日
      2016-03-04
    • 招待講演
  • [学会発表] Asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrodinger equation2016

    • 著者名/発表者名
      Hideshi YAMANE
    • 学会等名
      International conference on partial differential equations: general theory and variational problems
    • 発表場所
      Costabella Tropical Beach Hotel, セブ (フィリピン),
    • 年月日
      2016-01-12
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrodinger equation2015

    • 著者名/発表者名
      Hideshi YAMANE
    • 学会等名
      Analytic, Algebraic and Geometric Aspects of Differential Equations (AAGADE)
    • 発表場所
      Mathematical Sciences and Conference Center, Poland,
    • 年月日
      2015-09-17
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrodinger equation2015

    • 著者名/発表者名
      Hideshi YAMANE
    • 学会等名
      International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM)
    • 発表場所
      中国国家会議中心(北京) (中国)
    • 年月日
      2015-08-11
    • 国際学会
  • [学会発表] Asymptotics for the defocusing integrable discrete nonlinear Schrodinger equation2015

    • 著者名/発表者名
      Hideshi YAMANE
    • 学会等名
      ISAAC
    • 発表場所
      マカオ大学 (中国)
    • 年月日
      2015-08-07
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Asymptotic analysis based on the inverse scattering method2015

    • 著者名/発表者名
      山根英司
    • 学会等名
      保存則をもつ偏微分方程式に対する解の正則性・特異性の研究
    • 発表場所
      京都大学 (京都市)
    • 年月日
      2015-06-05
    • 招待講演
  • [備考] 関学数理科学科山根英司 研究室

    • URL

      http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~yamane/list.html

URL: 

公開日: 2017-01-06  

サービス概要 検索マニュアル よくある質問 お知らせ 利用規程 科研費による研究の帰属

Powered by NII kakenhi