| 研究課題/領域番号 |
26400132
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
上木 直昌 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (80211069)
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| 研究期間 (年度) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 確率解析 / 微分方程式 / 作用素論 / 数理物理 / ランダムシュレディンガー作用素 / スペクトル / Lifschitz tail / 累積状態密度関数 |
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| 研究実績の概要 |
本研究はランダムなシュレディンガー作用素に関する様々な問題に確率論的立場から取り組むことを目的としている。本年度はまず Gauss 型確率場を磁場にもつシュレディンガー作用素に対する Wegner 型評価について前年度迄に得られていたスピン0の場合における結果とそれとLifshitz挙動に関する結果を用いたAnderson局在についてまとめた論文がJourna of Mathematical Physics に掲載されることになった。
次に Fredholm 行列式を用いて定義されるあるランダム点配置のクラスに対して各点配置のまわりにポテンシャルを置いて定義されるランダムシュレディンガー作用素の累積状態密度関数のスペクトル下限における挙動を調べた。この課題はランダム配置がポアソン配置である場合に始まり、この種のランダム点配置に対しても既に前年度までに一定のクラスのランダム点配置に対しては累積状態密度関数の挙動はオーダーがポアソン配置の場合と同じであることを示していたが、Fredholm 行列式を用いて定義されるあるランダム点配置のうち前年度までに扱えなかったものの中にはGinibre 点配置というランダム行列と密接に関係し、各点間の反発力の為に挙動がポアソン配置と異なる例としてよく研究されているものが含まれており、この様なランダム点配置に対しては累積状態密度関数が異なるオーダーの挙動が示されることが期待されていた。この方面で今年度はランダム点配置としてGinibre点配置とサインカーネルから定まる点配置をとり、各点配置の周りのポテンシャルがコンパクトな台をもつ場合について、累積状態密度関数の挙動のオーダーを決定し、ポアソン配置の場合と異なることを示した。しかしランダム点配置の一般化、ポテンシャルの一般化など様々な拡張が望まれる
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ランダムな磁場をもつシュレディンガー作用素に対する Wegner 型評価に関して論文を発表することが出来、累積状態密度関数の挙動についてGinible点配置でも結果が得られたから。
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| 今後の研究の推進方策 |
以前から取り組んでいるランダムな磁場をもつシュレディンガー作用素に対する Wegner 型評価に関してもスピン1/2の場合の結果を磁場だけに条件を置いた設定に拡張したい。また累積状態密度関数の挙動について、現在 Ginibre 点配置とサインカーネルによって決まる点配置の場合に得られている結果を出来るだけ拡張したい。新しい動きとして最近Hairer やGuBinelli-Imkekker-Perkowskiによってなされているホワイトノイズを係数とする確率編微分方程式の研究がランダム作用素のスペクトルの研究に応用される可能性について考察したい。
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